Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 12:

Нечеткие алгоритмы обучения

Алгоритм формирования нечеткого отношения предпочтения

Пусть R — множество таких альтернатив, что каждое S\in R характеризуется набором оценок по n признакам: S=\{t_{1}, \ldots
,t_{n}\}, и пусть B — семейство всех непустых конечных подмножеств множества R. Для некоторого \(R' \in B\) известно подмножество выбранных альтернатив \(R'' \subset R'\), т.е. для любых S''\in R'' и \(S' \in R'\backslash R''\) имеет место доминирование \(S'' \succ S'\). Предварительно, при анализе исходного множества альтернатив, сформирован эталонный набор нечетких оценок \(A^0  = (t_1^0 ,\ldots,t_n^0 )\). Значения функции принадлежности нечеткой оценки \(t_i^0\) указывают на степень близости значений i -го признака к значениям, определяющим идеальную альтернативу. Используя множество предпочтений

E = \left\{ {(S'',S'):\quad S'' \in R'',\quad S' \in
R'\backslash R''} \right\},
требуется найти обобщенные правила предпочтения на множестве R.

Пример. Рассмотрим задачу выбора для рыболовецкого судна рационального района промысла с учетом следующих показателей: u_{1} — время перехода в район лова, u_{2} — прогноз вылова, u_{3} — стоимостная характеристика прогнозируемого объекта лова, u_{4} — гидрометеоусловия. Показатели, в сущности, играют роль лингвистических переменных.

Лицу, принимающему решение, предложены альтернативы S_{1}S_{6} (см.табл.12.1). Пусть выбрана альтернатива S_{1}. Для обучения формируются две таблицы:

\[
\begin{gathered}
  K_1  = \left\{ {(S_1 ,S_2 ),(S_1 ,S_3 ),(S_1 ,S_4 ),(S_1 ,S_5 ),(S_1 ,S_6 )}
\right\}, \\
  K_2  = \left\{ {(S_2 ,S_1 ),(S_3 ,S_1 ),(S_4 ,S_1 ),(S_5 ,S_1 ),(S_6 ,S_1 )}
\right\}, \\
\end{gathered}

Таблица 12.1.
U1 U2 U3 U4 U1 U2 U3 U4
S1 хор. хор. хор. уд. S1 плох. хор. плох. уд.
S2 оч. хор. плох. хор. уд. S2 уд. хор. хор. неуд.
S3 оч. хор. хор. хор. неуд. S3 плох. хор. хор. уд.
S4 уд. хор. хор. уд. S4 уд. хор. норм. уд.
S5 оч. плох. хор. хор. уд. S5 уд. норм. норм. уд.
S6 хор. норм. плох. уд. S6

Для каждой пары наборов (S_{i},S_{j}) вычисляются оценки сравнения i -го элемента первого набора с i -м элементом второго набора:

\left. {\begin{array}{*{20}c}
   {(t'_1 ,...,t'_n )}  \\
   {(t''_1 ,...,t''_n )}  \\
\end{array} } \right\} \to (L^\alpha  (t'_1 ,t''_1 ),...,L^\alpha  (t'_n
,t''_n )),
где \alpha определяет конкретный оператор, например, нечеткую меру сходства.

В результате получаются две таблицы наборов нечетких оценок поэлементного сравнения. На основе полученных таблиц, используя логические операторы и логические функции двух переменных, выделяются полезные признаки и минимальный базис. Содержательное значение утверждения, соответствующего минимальному базису, следующее:

\begin{gathered}
  \quad \quad \quad \quad \Phi (S_i ,S_j ) \succ \Phi (S_j ,S_i ) =  \hfill \\
   = (x_1^i  \succ x_1^j ) \&  (x_2^i  \succ x_2^j )  \&  (x_4^i  \succ x_4^j
)  \succ (x_1^i  \prec x_1^j ) \&  (x_2^i  \prec x_2^j )  \&  (x_4^i  \prec
x_4^j ), \hfill \\
\end{gathered}
где \(x_k^m\) — лингвистическое значение k -го показателя, \Phiлогический признак. Физический смысл приведенного утверждения: район S_{i} предпочтительнее района S_{j}, если утверждение [(время перехода до S_{i} "меньше", чем до S_{j} ), и (прогноз вылова в S_{i} "больше", чем в S_{j} ), и (погодные условия в S_{i} "лучше", чем в S_{j} )] более истинно, чем обратное утверждение [(время перехода до S_{i} "больше", чем до S_{j} ), и (прогноз вылова в S_{i} "меньше", чем в S_{j} ), и (погодные условия в S_{i} "хуже", чем в S_{j} )].

Далее предположим, что среди неизвестных ситуаций S_{7} - S_{11} (табл. 12.1) необходимо выбрать лучшую альтернативу, используя минимальный базис. В табл. 12.2 изображена матрица предпочтений M=(\mu^{ij}(K_{1}) | 
\mu^{ij}(K_{2})), элементы которой вычислялись посредством гарантированной оценки

\[
\mu ^{ij} (K_1 ) = \mathop {\max }\limits_{v \in [0,1]} \;\mu _{H_1 (S_i ,S_j
)} (v),
Таблица 12.2.
S7 S8 S9 S10 S11
S7 0,88 0,38 1 0,38 0,88 0,38 0,88 0,38
S8 0,75 1 0,75 1 0,75 1 0,75 1
S9 1 0,38 0,88 0,38 0,88 0,38 0,88 0,38
S10 1 0,38 1 0,38 1 0,38 1 0,38
S11 0,88 0,38 0,88 0,38 0,88 0,38 0,88 0,38
где \(
H_i (S_1 ,S_2 ) = \mathop  \cap \limits_j \left( {C_j^i  \cap C_j (S_1 ,S_2 )}
\right),\)
\(C_j (S_1 ,S_2 )\)значение j -го признака на паре альтернатив \((S_1 ,S_2 )\), \(C_j^i\)значение j -го признака на парах альтернатив i -го класса ( i=1,2 ). Каждый элемент матрицы содержит два значения. Левое значение указывает степень, с которой S_{i} доминирует над S_{j}. Правое значение указывает степень, с которой S_{j} доминирует над S_{i}. Для построения нечеткого графа предпочтений альтернатив (рис.12.5) используется следующее правило определения отношения доминирования D:
D(S_i ,S_j ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {S_i  \succ S_j ,} &
{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _1  \geqslant \mu _2 ;}
 \\
   {S_j  \succ S_i } &
{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _1  \leqslant \mu _2 ;}
 \\
\end{array} } \right.
где
\mu _1  = \mu ^{ij} (k_1 ) \vee \mu ^{ji} (k_2 ),\quad \mu
_2  = \mu ^{ij} (k_2 ) \vee \mu ^{ji} (k_1 ).


Рис. 12.5.

Согласно рис. 12.5, S_{10} является недоминируемой альтернативой, т.е. не существует альтернативы, которая с ненулевой степенью доминирует над S_{10}.

Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.