Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Лингвистическая нечеткая логика

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >

Логические связки в нечеткой лингвистической логике

Чтобы заложить основу для нечеткой лингвистической логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация, применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности.

При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если A — нечеткое подмножество универсального множества U и u\in
U, то два следующих утверждения эквивалентны:

  1. Степень принадлежности элемента u нечеткому множеству A есть \mu_{A}(u).
  2. Значение истинности нечеткого предиката " u есть A " также равно \mu_{A}(u).

Таким образом, вопрос "Что является значением истинности высказывания " u есть A " И " u есть B ", если заданы лингвистические значения истинности высказываний " u есть A " и " u есть B "?" аналогичен вопросу "Какова степень принадлежности элемента u множеству A\cap B, если заданы степени принадлежности элемента u множествам A и B?".

В частности, если v(A) — точка в V=[0,1], представляющая значение истинности высказывания " u есть A " (или просто A ), где u — элемент универсального множества U, то значение истинности высказывания " u есть не A " (или A ) определяется выражением

v(\neg A) = 1 - v(A).

Предположим теперь, что v(A) — не точка в [0,1], нечеткое подмножество интервала [0,1], представленное в виде

v(A) = f(x),\quad \quad f:[0,1] \to [0,1].
Тогда получим
v(\neg A) = f(1 - x).

В частности, если значение истинности A есть ИСТИННО, т.е. v(A)= ИСТИННО, то значение истинности ЛОЖНО является значением истинности для высказывания \neg A.

Замечание Следует отметить, что если ИСТИННЫЙ = f(x), то функция 1-f(x) будет интерпретироваться термом НЕ ИСТИННЫЙ, а функция f(1-x) — термом ЛОЖНЫЙ, что в принципе не одно и то же (см. рис. 9.2).

То же самое относится к лингвистическим неопределенностям. Например, если ИСТИННЫЙ = f(x), то значение терма ОЧЕНЬ ИСТИННЫЙ равно \(f^2 (x)\) (см. рис. 9.3).

С другой стороны, если значение истинности высказывания A есть f(x), то функция \(f(x^2 )\) будет выражать значение истинности высказывания "очень A ".


Рис. 9.3.

Перейдем к бинарным связкам. Пусть v(A) и v(B) — лингвистические значения истинности высказываний A и B соответственно. В случае, когда v(A) и v(B) — точечные оценки, имеем:

\begin{gathered}
v(A)   \wedge v(B) = v(A\ \tИ\ B),
 v(A)  \vee  v(B) =  v(A\ \t{ИЛИ}\ B),
\end{gathered}
где операции \wedge и \vee сводятся к операциям нечеткой логики (см. "Нечеткая логика" ).

Если v(A) и v(B) — лингвистические значения истинности, заданные функциями

v(A) = f(x),\quad v(B) = g(x),\quad \quad f,g:[0,1] \to
[0,1],
то, согласно принципу обобщения, конъюнкция и дизъюнкция будут вычисляться по следующим формулам:
\begin{gathered}
  v(A) \wedge v(B)\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z = x
\wedge y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right), \hfill \\
  v(A) \vee v(B)\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z = x
\vee y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right). \hfill \\
\end{gathered}

Замечание Важно четко понимать разницу между связкой И (ИЛИ) в терме, например, ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ и символом \wedge ( \vee ) в высказывании ИСТИННЫЙ \wedge ( \vee ) НЕ ИСТИННЫЙ. В первом случае, нас интересует смысл терма ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ, и связка И (ИЛИ) определяется отношением

M (ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ)=

= M (ИСТИННЫЙ) \cap ( \cup ) M (НЕ ИСТИННЫЙ),

где M(A) — смысл терма A. Напротив, в случае терма ИСТИННЫЙ \wedge ( \vee ) НЕ ИСТИННЫЙ нас в основном интересует значение истинности высказывания ИСТИННЫЙ \left[\wedge\ (\vee)\right] НЕ ИСТИННЫЙ, которое получается из равенства

v (A И (ИЛИ) B) = v(A)  \wedge\ (\vee )  v(B).

Значения истинности НЕИЗВЕСТНО и НЕ ОПРЕДЕЛЕНО

Среди возможных значений истинности лингвистической переменной ИСТИННОСТЬ два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество \oslash и единичный интервал \gF=[0,1], которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала [0,1]. Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности НЕ ОПРЕДЕЛЕНО и НЕИЗВЕСТНО соответственно.

Важно четко понимать разницу между 0 и \oslash. Когда мы говорим, что степень принадлежности точки u множеству A есть \oslash, мы имеем в виду, что функция принадлежности \(\mu _A :U \to [0,1]\) не определена в точке u. Предположим, например, что U — множество действительных чисел, а \(\mu
_A\)функция, определенная на множестве целых чисел, причем \(\mu _A
(u) =
1\), если u четное, и \(\mu _A (u) = 0\), если u нечетное. Тогда степень принадлежности числа u=1,5 множеству A есть \oslash, а не 0.

С другой стороны, если бы \(\mu _A\) была определена на множестве действительных чисел и \(\mu _A (u) = 1\) тогда и только тогда, если u — четное число, то степень принадлежности числа 1,5 множеству A была бы равна 0.

Понятие значения истинности НЕИЗВЕСТНО в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые понятия и соотношения обычных двухзначных и трехзначных логик. Эти логики можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности НЕИЗВЕСТНО является весь единичный интервал, а не множество \{0,1\}.

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.