Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Нечеткая логика

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Операции конъюнкции и дизъюнкции

Как отмечалось на предыдущих лекциях, операции конъюнкции \wedge =
\min и \vee = \max, введенные Заде, обладают почти всеми свойствами соответствующих булевых операций. Это позволяет легко обобщать для нечеткого случая многие понятия "четкой" логики. Однако с других точек зрения эти операции являются ограничительными. Возможность рассмотрения более "мягких" операций конъюнкции и дизъюнкции обсуждал еще Заде в своих первых работах.

Целесообразность применения тех или иных операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике может рассматриваться с разных позиций в зависимости от области приложения нечеткой логики.

Во-первых, эти операции интересны с точки зрения моделирования лингвистических связок "и" и "или", используемых человеком. С одной стороны, операции \min и \max являются адекватными в порядковых шкалах, в которых обычно измеряются лингвистические оценки. Это обусловливает их широкое применение в нечетких лингвистических моделях. Однако, недостатком этих операций является то, что их результат равен значению одного операнда и не меняется при изменении значений второго операнда в определенном диапазоне величин. Например, 0,2\wedge   y =
0,2 для всех значений y\ge   0,2. Кроме того, в ряде экспериментальных работ было установлено, что операции \min и \max не являются достаточно удовлетворительными с точки зрения моделирования лингвистических связок. Это привело к появлению работ по разработке строго монотонных операций в порядковых шкалах, по настраиваемым на эксперта табличным операциям, а также стимулировало исследования по поиску новых операций конъюнкции и дизъюнкции.

Во-вторых, расширение класса операций конъюнкции и дизъюнкции было вызвано необходимостью построения достаточно общих математических моделей, которые могли бы с единых позиций рассматривать, например, вероятностные и многозначные логики, различные методы принятия решений, обработки данных и т.д. Подобное расширение произошло в результате введения в рассмотрение недистрибутивных операций конъюнкции и дизъюнкции, известных под названием t -норм и t -конорм.

Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции \wedge и \vee, удовлетворяющие следующим условиям:

  1. Дистрибутивность:
    x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z),\quad
x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z).
  2. Монотонность:
    x \leqslant z,\;y \leqslant u\quad  \Rightarrow \quad x
\wedge y \leqslant z \wedge u,\;x \vee y \leqslant z \vee u.
  3. Граничные условия:
    x \wedge 1 = 1 \wedge x = x,\quad x \vee 0 = 0 \vee x =
x.

Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:

0 \wedge x = 0,\;\;1 \vee x = 1.

Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:

x = x \wedge 1 = x \wedge (1 \vee 1) = (x \wedge 1) \vee (x
\wedge 1) = x \vee x.

И из

\max (x,y) = \max (x,y) \vee \max (x,y) \geqslant x \vee y
\geqslant \max (x \vee 0,0 \vee y) = \max (x,y)
следует \(x \vee y = \max (x,y).\)

Аналогично выводится \(x \wedge y = \min (x,y).\)

Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким ограничением на возможную форму операций конъюнкции и дизъюнкции. Удаление этого свойства из множества аксиом устраняет единственность операций \min и \max и дает возможность совершать построения широкого спектра нечетких связок. Свойство дистрибутивности очень важно в логике, так как оно дает возможность совершать эквивалентные преобразования логических форм из дизъюнктивной в конъюнктивную форму и обратно. Оно активно используется в процедурах минимизации логических функций, в процедурах логического вывода на основе принципа резолюции и т.п. Однако, во многих задачах такие преобразования логических форм не являются необходимыми, и поэтому оказалось, что свойство дистрибутивности может быть "довольно безболезненно" удалено из системы аксиом, определяющих нечеткие операции конъюнкции и дизъюнкции. Основной аксиомой для них является ассоциативность, и свойства этих операций во многом определяются общими свойствами ассоциативных функций и операций, активно изучающихся в математике.

Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие t -нормы и t -конормы:

\(T_M (x,y) = \min \left\{ {x,y} \right\}\) (минимум),

\( \bot _M (x,y) = \max \left\{ {x,y} \right\}\) (максимум),

\(T_p (x,y) = x \cdot y\) (произведение),

\(\bot _p (x,y) = x + y - x \cdot y\) (вероятностная сумма),

\(T_L (x,y) = \max \left\{ {0,x + y - 1} \right\}\) (t-норма Лукасевича),

\( \bot _L (x,y) = \min \left\{ {1,x + y} \right\}\) (t-конорма Лукасевича),

\(T_D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in
[0,1) \times [0,1);}  \\
   {\min (x,y),} &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
\end{array} } \right.
\) (сильное произведение),

\( \bot _D (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;(x,y) \in
(0,1] \times (0,1];}  \\
   {\max (x,y),} &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
\end{array} } \right.
\) (сильная сумма).

Для любых t -норм T и t -конорм \(
\bot\) выполняются следующие неравенства:

T_D (x,y) \leqslant T(x,y) \leqslant T_M (x,y) \leqslant \;
\bot _M (x,y) \leqslant \; \bot (x,y) \leqslant \; \bot _D (x,y).

Таким образом, t -нормы T_{D} и T_{M} являются минимальной и максимальной границами для всех t -норм. Аналогично, t -конормы \(
\bot _M\) и \( \bot_D\) являются минимальной и максимальной границами для всех t -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.

В-третьих, рассмотрение логических операций конъюнкции и дизъюнкции как вещественных функций, являющихся компонентами нечетких моделей процессов и систем, естественно вызывает необходимость рассмотрения широкого класса таких функций, увеличивающих гибкость моделирования. По этим причинам, в ряде приложений нечеткой логики некоторые аксиомы t -норм и t -конорм также оказались ограничительными. В частности, параметрические классы данных операций имеют достаточно сложный вид, затрудняющий их аппаратную реализацию и оптимизацию нечетких моделей по параметрам этих операций. Сложность параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций определяется способом генерации этих операций, который фактически определяется условием ассоциативности. С этой точки зрения свойство ассоциативности может рассматриваться как ограничительное. В то же время, свойство коммутативности операций конъюнкции и дизъюнкции может рассматриваться как необязательное ограничение на эти операции, так как в общем случае в нечетких моделях операнды данных операций могут характеризовать переменные, по-разному влияющие на результат. Свойства ассоциативности и коммутативности являются важными, например, в нечетких моделях многокритериального принятия решений, поскольку одним из разумных требований, накладываемых на процедуры принятия решений, является их независимость от порядка рассмотрения альтернатив и критериев. Но для систем нечеткого вывода эти свойства не всегда являются необходимыми, особенно когда позиции переменных в нечетких правилах и процедуры обработки правил фиксированы, а также когда число входных переменных не превышает двух, что бывает во многих реальных приложениях нечетких моделей. По этой причине из определения нечетких операций конъюнкции и дизъюнкции могут быть удалены свойства коммутативности и ассоциативности так же, как это было ранее сделано со свойствами дистрибутивности.

В качестве примера некоммутативных, неассоциативных операций дизъюнкции и конъюнкции можно привести следующие:

\begin{gathered}
T(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\min (x,y),} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p
\leqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \leqslant y;}  \\
   {0,} &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
\end{array} } \right.
\\
 \bot (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\max (x,y),} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;p
\geqslant x\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;q \geqslant y;}  \\
   {1,} &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
 \end{array} } \right.
\end{gathered}

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.