Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Нечеткая логика

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Операции отрицания

Пусть множество значений функций принадлежности L является линейно упорядоченным множеством с наименьшим 0 и наибольшим 1 элементами. Примером L может служить интервал вещественных чисел [0,1], шкала лингвистических оценок (например, L={"неправдоподобно", "малоправдоподобно", "средняя правдоподобность", "большая правдоподобность", "наверняка"}, шкала балльных оценок и др.

Определение. Операцией отрицания на L называется функция n:L\to
L, удовлетворяющая следующим условиям:

(О1) n(0)=1, n(1)=0 ;

(O2) x   \le y   \Rightarrow  n(y)  \le n(x).

В зависимости от выполнения на L дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:

  • Строгое отрицание: x < y   \Rightarrow  n(y)< n(x) ;
  • Квазистрогое отрицание: [x<y \& n(x)=n(y)] \Rightarrow n(x),n(y)\in \{0,1\} ;
  • Инволюция: n(n(x))=x ;
  • Обычное отрицание: n(n(x))  \le x ;
  • Слабое отрицание: x   \le n(n(x)).

Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент x из L будет называться иволютивным элементом, если n(n(x))=x, в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, если L содержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.

Элемент s\in L, удовлетворяющий условию n(s)=s, называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) L. Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.

Отрицание n называется сжимающим в точке x\in L, если выполнено условие

x \wedge  n(x)    \le n(n(x))    \le x  \vee n(x).

Отрицание называется сжимающим на L, если оно сжимающее в каждой точке множества L.

Отрицание n называется разжимающим в точке x\in
L, если выполнено условие

n(x)  \wedge n(n(x))    \le x    \le n(x)x   \vee n(n(x)).

Отрицание называется разжимающим на L, если оно является разжимающим в каждой точке множества L.

Теорема Для любого отрицания n любая точка x\in L является либо сжимающей, либо разжимающей.

Доказательство Пусть x\le n(x), тогда из условия (О2) получим n(n(x))\le
n(x), откуда следует либо x\le n(n(x))\le n(x), либо n(n(x))\le x\le
n(x). Аналогично, из n(x)\le x получаем n(x)\le n(n(x)), и, следовательно, либо n(x)\le
n(n(x))\le x, либо n(x)\le x\le
n(n(x))

Следствие Элемент x является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.

Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу". Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.

На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке x отрицания. Элементы L представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, y<x. Элементы y порождаются элементами x так, что y=n(x) для рис. 8.1(А) и y=n(n(x)) для рис. 8.1(Б).


Рис. 8.1.

Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что L содержит элементы, отличные от 0 и 1.

Пример. "Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".

n(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {x =
0;}  \\
   {c,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {x
\notin \{ 0,1\} ;}  \\
   {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {x =
1.}  \\
\end{array} } \right.

Рис. 8.2.
где c — некоторый элемент из L такой, что c\not\in \{0,1\}. Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной точкой.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.