Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Нечеткие числа и операции над ними

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Размытые арифметики нечетких треугольных чисел

В предыдущем параграфе мы доказали, что возможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, аналогичную арифметике четких чисел. Однако, на наш взгляд, каждая такая арифметика будет обладать одним существенным недостатком.

Рассмотрим арифметику \Re, описанную в примере. Пусть \( {{N}}_{{i}}  = \left\langle {{{0;}}\;\alpha _{{i}} {{,}}\beta _{{i}} }
\right\rangle \), где \(\alpha _i  \vee \beta _i  \ne 1\). Для произвольного числа A=\langle a; \alpha ,\beta \rangle выполняется

{{A}}\tilde  + {{N}}_{{i}}  =  \langle a;\;\alpha \alpha _i
,\beta \beta _i  \rangle .

Если A имеет некоторое лингвистическое значение (например, "приблизительно a "), то нечеткое число \({{A}}\tilde  + {{N}}_{{i}}\) является некоторым модификатором числа A (например, "болееили менее приблизительно a "). Таким образом, нечеткое число N_{i} является "приблизительно нулевым элементом". Более того, при \alpha\to 1 и \beta\to 1 эта "приблизительность" возрастает. Однако при формальном описании арифметики \Re это свойство нигде не отражается.

Рассмотрим новый подход к арифметике нечетких чисел, который успешно формализует описанное выше свойство без потери свойств, аналогичных свойствам четкой арифметики. При этом подходе нечеткость рассуждений увеличивается, но это не всегда является минусом.

Основная идея данного подхода заключается в том, что понятие нечеткости накладывается на арифметические операции. То есть результатом произведения (или сложения) двух нечетких треугольных чисел является не одно конкретное нечеткое треугольное число, а нечеткое множество, определенное на множестве нечетких треугольных чисел. Такие операции названы размытыми операциями. Следовательно, и арифметику нечетких чисел с размытыми операциями мы будем называть размытой (сокращенно РА-НТЧ ). Рассмотренные выше арифметики мы будем называть четкими (сокращенно ЧА-НТЧ ).

Пусть нам задана некоторая ЧА-НТЧ \(\tilde \Re  =  \langle \Re ,\;\tilde  + ,\;\tilde  \cdot  \rangle\). На базе этой арифметики будем строить РА-НТЧ \(\tilde \tilde \Re  =  \langle \Re ,\;\tilde \tilde  +
,\;\tilde \tilde \cdot  \rangle\).

Пусть нам даны нечеткие числа A=\langle a; \alpha_{A} ,
\beta_{A}\rangle и B=\langle b;  \alpha_{B}, 
\beta_{B}\rangle. Множество \(A\tilde \tilde  * B\) является нечетким подмножеством множества \Re c функцией приоритета \(\mu _{A\tilde \tilde  * B}\), которая для любого нечеткого треугольного числа C=\langle c;  \alpha_{C}, 
\beta_{C}\rangle удовлетворяет условию

\mu _{A\tilde \tilde  * B} (\t{\char209}) = \left\{
{\begin{array}{*{20}c}
   {0,} &
{{\text{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}}}\;{\text{c}} \ne
{\text{a}} * {\text{b}},}  \\
   {\frac{1}
{{\max \{ \alpha ^ *  ,\beta ^ *  \}  + 1}},} &
{{\text{\t{\char226}}}\;{\text{\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}}}\;{\text{\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}}}{\text{.}}}  \\
\end{array} } \right. ( 3)
где \(
\alpha ^ *   = |\alpha _C  - \alpha _A  * \alpha _B |,\;\quad \beta ^ *   =
|\beta _C  - \beta _A  * \beta _B |
\).

Введем новое обозначение. Пусть \(\mu _{A\tilde \tilde  * B} (\t{\char209})
=\gamma\). Тогда, если \gamma>0, то будем записывать \(A\tilde \tilde  * B = _\gamma  C\). Если же \gamma=0, то будем записывать \(A\tilde \tilde  * B \ne C\). Число

C^k  = A\tilde  * B =  < a * b;\;\alpha _A  * \alpha _B
,\beta _A  * \beta _b  >
назовем каноническим представителем произведения \(A\tilde \tilde  * B\). Очевидно, что
A\tilde \tilde  * B = _1 C\quad  \Leftrightarrow \quad C =
C^k .
Для всех остальных нечетких чисел, чья мода равна a*b, значение функции принадлежности уменьшается с увеличением "удаленности" данного числа от канонического представителя.

Независимо от задания арифметики \(\tilde \Re\), размытая арифметика \(\tilde \tilde \Re\) будет обладать слабым свойством коммутативности, т.е. для любых A, B\in\Re будет выполнено следующее равенство множеств \(A\tilde \tilde  * B = B\tilde \tilde  * A\).

На самом деле, если найдется такое число \gamma_{1}>0, что \(A\tilde \tilde  * B = _{\gamma _1 } C\), то, согласно (3), имеем c =a*   b. Так как на множестве действительных чисел и сложение, и умножение коммутативны, то c =b*   a, и, следовательно, найдется такое число \gamma_{2}>0, что \(B\tilde \tilde  * A = _{\gamma _2 } C\). Заметим, что в общем случае \gamma_{1}\ne  \gamma_{2}. Именно поэтому свойство названо "слабым".

Если ЧА-НТЧ \(\tilde \Re\) обладает свойством коммутативности, то РА-НТЧ \(\tilde \tilde \Re\) будет обладать сильным свойством коммутативности, т.е. для любых \(A,\;B,\;C \in \Re\) выполняется

A\tilde \tilde  * B = _\gamma  C\quad  \Leftrightarrow
\quad B\tilde \tilde  * A = _\gamma  C.

Прежде чем говорить об ассоциативности и дистрибутивности, необходимо рассмотреть алгоритм вычисления арифметических выражений, содержащих более двух нечетких треугольных чисел.

Пусть F(A_{1}, A_{3}, \ldots ,A_{n}) — некоторое арифметическое выражение, содержащие нечеткие числа A_{1}, A_{2}, \ldots ,A_{n}. Сперва найдем канонический представитель C^{k} = <c;  \alpha^{k},  \beta^{k}> этого выражения, т.е. значение выражения в ЧА-НТЧ \(\tilde \Re\). Тогда для любого C\in\Re имеем

\mu _F (\t{\char209}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {0,} &
{{\text{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}}}\;{\text{c}} \ne
{\text{F(a}}_{\text{1}} ,...,{\text{a}}_{\text{n}} {\text{)}},}  \\
   {\frac{1}
{{\max \{ \alpha ^ *  ,\beta ^ *  \}  + 1}},} &
{{\text{\t{\char226}}}\;{\text{\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}}}\;{\text{\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}}}{\text{.}}}  \\
\end{array} } \right.
где \(
\alpha ^ *   = |\alpha _C  - \alpha ^k |,\;\quad \beta ^ *   = |\beta _C  -
\beta ^k |.
\)\goodbreak

Нетрудно убедиться, что полученная арифметика будет обладать свойствами слабой ассоциативности и слабой дистрибутивности, т.е. для любых A, B,
C\in\Re выполнены следующие равенства множеств:

\begin{gathered}
  A\tilde \tilde  * (B\tilde \tilde  * C) = (A\tilde \tilde  * B)\tilde \tilde
 * C, \hfill \\
  A\tilde \tilde  \cdot (B\tilde \tilde  + C) = (A\tilde \tilde  + B)\tilde
\tilde  \cdot (A\tilde \tilde  + C). \hfill \\
\end{gathered}

Необходимым и достаточным условием для выполнения сильных свойств ассоциативности и дистрибутивности является условие выполнения этих свойств в арифметике \(\tilde \Re\).

В построенной нами арифметике \(\tilde \tilde \Re\) следующим образом определим понятия нулевого и единичного элементов. Элемент N\in\Re называется нулевым, если для любого A\in\Re найдутся такие числа \gamma_{1},  \gamma_{2}\in   (0,1], что

{{A}}\tilde \tilde  + {{N}} = _{\gamma _{{1}} }
{{A}}\;\quad {{\t{\char232}}}\quad \;{{N}}\tilde \tilde  + {{A}} = _{\gamma
_{{2}} } {{A}}{{.}}

И, аналогично, элемент E\in\Re называется единичным, если для любого A\in\Re найдутся такие числа \gamma_{1},  \gamma_{2}\in   (0,1], что

{{A}}\tilde \tilde  \cdot {{E}} = _{\gamma _{{1}} }
{{A}}\;\quad {{\t{\char232}}}\quad \;E\tilde \tilde  \cdot {{A}} = _{\gamma
_{{2}} } {{A}}{{.}}

Нетрудно убедиться, что все нечеткие треугольные числа, мода которых равна нулю, являются нулевыми, и нечеткие треугольные числа, мода которых равна единице, являются единичными.

Вернемся теперь к рассмотрению проблемы, описанной в начале данного параграфа. Пусть число N_{0} = <0;  \alpha_{0},  \beta_{0}> — нулевой элемент в арифметике \(\tilde \Re\). Тогда для любого A\in\Re имеем \({{A}}\tilde \tilde  + {{N}}_{{0}}  = _{{1}}
{{A}}\) и \({{N}}_{{0}} \tilde \tilde  + {{A}} = _{{1}}
{{A}}\). Если \({{N}}_{{i}}  =  < {{0;}}\;\alpha _{{i}} {{,}}\beta _{{i}}>\) (\alpha_{i} \ne  \alpha_{0}, или \beta_{i}\ne  
\beta_{0} ). Тогда найдутся такие числа \gamma_{1},  \gamma_{2}\in   (0,1], что \({{A}}\tilde \tilde  + {{N}}_{{i}}  = _{\gamma _{{1}} } {{A}}\) и \({{N}}_{{i}} \tilde \tilde  + {{A}} = _{\gamma _{{2}} } {{A}}\). Более того,

\begin{gathered}
  \alpha _i  \to \alpha _0 \quad  \Rightarrow \quad \gamma _1  \to 1, \hfill \\
  \beta _i  \to \beta _0 \quad  \Rightarrow \quad \gamma _2  \to 1. \hfill \\
\end{gathered}

Проблема противоположного и обратного элементов решается по аналогии с проблемой коммутативности; в слабом варианте проблема решается автоматически, а усиленный вариант зависит от того, существуют ли противоположный и обратный элементы в арифметике \(\tilde \Re\).

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.