Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Нечеткие числа и операции над ними

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел (L-R) -типа, т.е. имеющих вид (a; \alpha ,
\beta).

Мы будем строить арифметику \(\left\langle {\Re ,\tilde  + ,\tilde  \cdot }
\right\rangle\), где \(\tilde  + ,\;\tilde  \cdot\)операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.

Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:

(a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde  * (a_2 ;\;\alpha _2
,\beta _2 ) = (a_1  * a_2 ;\;\alpha _1 {\rm O}\alpha _2 ,\beta _1 {\rm O}\beta
_2 ).
где * — либо сложение, либо умножение, O — некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.

Опишем, какими свойствами должна обладать операция O для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.

Очевидно, что для того, чтобы операция \(\tilde  *\) была коммутативной и ассоциативной, O также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:

\begin{gathered}
  \alpha \;{\rm O}\beta  = \beta \;{\rm O}\alpha , \hfill \\
  (\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\gamma  = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm
O}\gamma ). \hfill \\
\end{gathered} ( 1)

Пусть 0 = \langle a_{0}; \alpha_{0},  \beta_{0}\rangle — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода a_{0} равна нулю, а коэффициенты размытости \alpha_{0}, и \beta_{0} фиксированные значения. Тогда для любого \alpha\in R^{+} имеем

\alpha \;{\rm O}\alpha _0  = \alpha _0 \;{\rm O}\alpha  =
\alpha \;{\rm O}\beta _0  = \beta _0 \;{\rm O}\alpha .

Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого \alpha\in R^{+} существовали \(\alpha ',\;\beta ' \in R^ +\), такие, что

\alpha \;{\rm O}\alpha ' = \alpha '\;{\rm O}\alpha  =
\alpha _0 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm
O}\beta ' = \beta '\;{\rm O}\alpha  = \beta _0 .

Аналогично, если 1 = \langle a_{1};  \alpha_{1}, 
\beta_{1}\rangle — нечеткая единица, то для любого \alpha\in R^{+} имеем

\alpha \;{\rm O}\alpha _1  = \alpha _1 \;{\rm O}\alpha  =
\alpha \;{\rm O}\beta _1  = \beta _1 \;{\rm O}\alpha .

И для любого \alpha\in R^{+} существуют \(\alpha '',\;\beta
'' \in {\text{R}}^ +\), такие, что

\alpha \;{\rm O}\alpha '' = \alpha ''\;{\rm O}\alpha  =
\alpha _1 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm
O}\beta '' = \beta ''\;{\rm O}\alpha  = \beta _1 .

Легко заметить, что алгебраическая система \langle
R^{+},O\rangle образует абелеву группу. Следовательно, \alpha_{0} =  \beta_{0} = 
\alpha_{1} =  \beta_{1} = e и для любого \alpha\in R^{+} имеем \(\alpha ' = \beta ' = \alpha
'' = \beta '' = \alpha ^{ - 1}\).

Для того, чтобы операции \(\tilde  + ,\;\tilde  \cdot\) удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых \alpha,\beta,\gamma\in R^{+} операция O удовлетворяла следующему условию:

(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma
) = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ). ( 2)

Если O коммутативна и ассоциативна, то получим

(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma
) = (\alpha \;{\rm O}\alpha )\;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ).

Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы O была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е. удовлетворяла условиям (1) и для любого \alpha\in R^{+}

\alpha \;{\rm O}\alpha  = \alpha
.

Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.

Вывод

Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.

Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть

\begin{gathered}
(a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde  + (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1  +
a_2 ;\;\alpha _1  \oplus \alpha _2 ,\beta _1  \oplus \beta _2 ),
\\
(a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde  \cdot (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) =
(a_1  \cdot a_2 ;\;\alpha _1  \otimes \alpha _2 ,\beta _1  \otimes \beta _2 ).
\end{gathered}

Очевидно, что если алгебраическая система \left\langle
R^{+},\oplus,\otimes\right\rangle удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).

Пример. Рассмотрим поле \left\langle R,+,\cdot\right\rangle действительных чисел. Функция f(x)=e^{x} является взаимно однозначным отображением R на R^{+}. Определим операции \oplus и \otimes таким образом, чтобы f являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:

\begin{gathered}
  \alpha  \oplus \beta  = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) +
{\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )), \\
  \alpha  \otimes \beta  = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) \cdot
{\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )). \\
\end{gathered}

Таким образом, мы получим

\begin{gathered}
  \alpha  \oplus \beta  = e^{\ln \alpha  + \ln \beta }  = \alpha \beta , \\
  \alpha  \otimes \beta  = e^{\ln \alpha \ln \beta } . \\
\end{gathered}

Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика \Re будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число 0 = \langle0; 1,1\rangle ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число 1 = \langle1; e, e\rangle. Для произвольного нечеткого треугольного числа A = \langle a ;
 \alpha, \beta\rangle противоположным числом будет \( - {\text{A}} =  \langle 
- {\text{a;}}\;\tfrac{1} {\alpha },\tfrac{1}{\beta } \rangle\) и обратным элементом будет \(A^{ - 1}  =  < \tfrac{1}{a};\;e^{\frac{1}{{\ln \alpha }}}
,e^{\frac{1}{{\ln \beta }}}>\).

Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:

\alpha  = 0\& \beta  = 0\quad  \Rightarrow \quad \alpha 
\oplus \beta  = \alpha  \otimes \beta  = 0.

Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.