Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Нечеткие числа и операции над ними

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Нечеткие треугольные числа

На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.

Определение. Треугольным нечетким числом A называется тройка \left\langle a ,b ,c\right\rangle (a\le b\le c) действительных чисел, через которые его функция принадлежности \mu_{S} определяется следующим образом:

\mu _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{x - a}}
{{b - a}},} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in
[a,b],} & {}  \\
   {\frac{{x - c}}
{{b - c}},} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in
[b,c],} & {}  \\
   {0,} & {\t{\char226}{\kern 1pt}
\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} & {}  \\
\end{array} } \right.

Второе число b тройки \left\langle a, b, c\right\rangle обычно называют модой или четким значением нечеткого треугольного числа. Числа a и c характеризуют степень размытости четкого числа.

Например, на рис. 7.3 изображено нечеткое треугольное число A=\left\langle 1, 5, 7\right\rangle, которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5".


Рис. 7.3.

В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале [a, b], а другая монотонно убывает на интервале [b, c]. Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.

Если A=\langle a_{A}, b_{A}, c_{a}\rangle и B=\langle
a_{B},b_{B},c_{b}\rangleтреугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число C=A*B также является треугольным и характеризуется тройкой \langle
a_{C},b_{C},c_{c}\rangle, где

\begin{gathered}
  a_C  = \min \left\{ {a_A  * a_B ,\;a_A  * c_B ,\;c_A  * a_B ,\;c_A  * c_B }
\right\}, \hfill \\
  c_C  = \max \left\{ {a_A  * a_B ,\;a_A  * c_B ,\;c_A  * a_B ,\;c_A  * c_B }
\right\}, \hfill \\
  b_C  = b_A  * b_B . \hfill \\
\end{gathered}

К сожалению, даже при ограничении нашего виденья нечетких чисел до понятия треугольных чисел, проблемы противоположного, обратного элементов и дистрибутивности остаются нерешенными.

Было предложено ввести некоторые ограничения на вычисление частных случаев вида A*A. Ограничения эти позволяют получить противоположный и обратный элементы. Однако проблема дистрибутивности таким способом не решается. Более того, ограничения кажутся довольно искусственными: чем, к примеру, можно объяснить различие в алгоритмах вычисления A-A и A-B?

Есть еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси. Например, пусть

A_{1}=\langle 1,2,3\rangle,\  B_{1}=\langle 2,3,4\rangle\quad \tи\quad
A_{2}=\langle 99,100,101\rangle,\  B_{2}=\langle 100,101,102\rangle.
Тогда A_{1}\cdot B_{1}=\langle2,6,12\rangle и A_{2}\cdot
B_{2}=\langle9\,900,
10\,100,10\,302\rangle. Число A_{2}\cdot B_{2} получается гораздо более размытое, чем A_{1}\cdot B_{1}.

Позднее было предложено другое определение нечеткого числа.

Определение. Нечетким числом u называется пара \((\underline u , \overline u )\) функций \(\underline u ,\overline u
:[0,1] \to
R\), удовлетворяющих следующим условиям:

  • \(\underline u (r)\)монотонно возрастающая непрерывная функция;
  • \(\overline u (r)\)монотонно убывающая непрерывная функция;
  • \(\forall r\;\underline u (r) \leqslant \overline u (r).\)

Это позволило авторам ввести понятие меры и превратить множество нечетких чисел в топологическое пространство.

Далее была предложена следующая модификация определения нечеткого числа.

Определение. Для любого нечеткого числа \(u = (\underline u ,\overline u )\) число \(u_0  = \tfrac{1}{2}(\underline u (1) + \overline u (1))\) называется локальным \(u_*  = u_0  - \underline u\) индексом числа u, две неубывающие непрерывные функции \(u_*  = u_0  -
\underline u\) и \(u^*  = \overline u  - u_0\) называются левым и правым индексами нечеткости, соответственно.

Согласно данному определению, каждое нечеткое число может быть представлено следующим образом: \((u_0 ,\;u_* ,u^* )\).

Далее вводится понятие арифметических операций над нечеткими числами такого вида. Для любых нечетких чисел \(u = (u_0 ,\;u_* ,u^* )\) и \(v = (v_0 ,\;v_* ,\;v^* )\) они определяются следующим образом:

u * v = (u_0  * v_0 ,\;\;u_*  \vee v_* ,\;\;u^*  \vee v^* ).

Этот подход позволяет решить проблему дистрибутивности, так как размытость числа u*v для всех четырех операций вычисляется при помощи единственногооператора, который дистрибутивен относительно самого себя (т.е. коммутативен, ассоциативен и идемпотентен).

Несмотря на это преимущество, проблемы противоположного и обратного элементов и при таком подходе остаются нерешенными.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.