Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Нечеткие числа и операции над ними

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Аннотация: В лекции дается определение нечеткого числа, рассматриваются его свойства, описываются операции над нечеткими числами. Подробно рассматриваются нечеткие треугольные числа, а также различные арифметики нечетких треугольных чисел.

Основные определения

Нечеткое число — это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что: а) существует значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также b) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности не возрастает.

Нечеткое число A унимодально, если условие \mu_{A}(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число A называется нечетким нулем, если

\mu _A (0) = \mathop {\sup }\limits_X \;(\mu _A
(x)).

Подмножество S_{A}\subseteq R называется носителем нечеткого числа A, если

S = \{x |  \mu_{A}(x)>0\}.

Нечеткое число A положительно, если \forall x\in
S_{A} x>0, и отрицательно, если \forall x\in S_{A} x<0.

Согласно принципу обобщения Заде было введено понятие арифметических операций на множестве нечетких чисел. Для произвольных нечетких чисел A, B, C и для любых чисел x,y,z\in   R справедливо

C = A\tilde  * B\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup
}\limits_{z = x * y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)}
\right).

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом:

\begin{gathered}
C = A\tilde  + B\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z = x +
y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right).
\\
C = A\tilde  - B\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z = x -
y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right).
\\
C = A\tilde  \cdot B\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z =
xy} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right).
\\
C = A\tilde  \div B\quad  \Leftrightarrow \quad \mathop {\sup }\limits_{z =
x/y} \;\left( {\mu _A (x) \wedge \mu _B (y)} \right).
\end{gathered}

Анализ свойств арифметических операций над нечеткими числами показал, что нечеткое число не имеет противоположного и обратного чисел, сложение и умножение коммутативны, ассоциативны и в общем случае недистрибутивны.

При решении задач математического моделирования нечетких систем можно использовать нечеткие числа (L-R)-типа, которые предполагают более простую интерпретацию расширенных бинарных отношений.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.