Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик

Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Нечеткие интегралы

Определение. Нечеткий интеграл от функции h\colon X\to [0,1] на множестве A\subseteq X по нечеткой мере g определяется как

\int\limits_A {h(x) \circ g}  = \mathop {\sup
}\limits_{\alpha  \in [0,1]} \;\left( {\alpha  \wedge g(A \cap H_\alpha  )}
\right),
где \(H_\alpha   = \{ x|h(x) \geqslant \alpha \} .\)

нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием.

Определение. Нечеткий интеграл от функции h\colon X\to [0,1] на нечетком множестве \mu_{A} по нечеткой мере g определяется как

\int\limits_{\mu _A } {h(x) \circ g}  = \int\limits_X {(\mu
_A (x) \wedge h(x)) \circ g.}

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента x\in X множеству E\subset X. Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для x\in F ( F\supset E ) равна 1, т.е. степень принадлежности для x\in F будет больше, чем для x\in E, если E\subset F. Если степень принадлежности x_{0}\in E равна g(x_{0},E), а вместо E задано нечеткое подмножество \mu_{A}, то

g(x_0 ,A) = \int\limits_X {\mu _A (x) \circ g(x_0 )}  = \mu
_A (x_0 ).

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения " x0\in
A " равна степени принадлежности x_{0} нечеткому подмножеству \mu_{A}. Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо структурированных задач

Процесс субъективного оценивания

Рассмотрим задачу субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко описываемых объектов, таких как дом, лицо и т.п. Предположим, что объект характеризуется n показателями.

Пусть K=\{s_{1},\ldots,s_{n}\} — множество показателей. При оценивании дома такими показателями могут быть: s_{1}площадь, s_{2} — удобства и т.д. В общем случае множество K не обязательно должно быть множеством физических показателей, оно может быть множеством мнений, критериев и т.п.

Пусть h\colon K\to [0,1] — частная оценка объекта, т.е. h(s) — оценка элемента s. Если речь идет о распознавании образов, то h(s) может рассматриваться как характеристическая функция образа. На практике h(s) может быть легко определена объективно или субъективно. Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку h(s_{1})=h\t{(площадь)}=800\,m^{2}, которая может быть нормализована числом из интервала [0,1].

Предположим, что нечеткая мера для (K,2^{K}) является субъективной мерой, выражающей степень важности подмножества из K. Например, g(\{s_{1}\}) выражает степень важности элемента s_{1} при оценке объекта, g(\{s_{1},s_{2}\}) — аналогично обозначает степень важности показателей s_{1} и s_{2}. Необходимо отметить, что степень важности всего множества K равна единице.

Вычисляя нечеткий интеграл от h до g, получаем

e = \int\limits_K {h(s) \circ g,}
где e — обобщенная оценка объекта.

Данное уравнение представляет собой свертку n частных оценок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы. Свертка же может быть очень полезной, когда существует взаимозависимость показателей, что характерно для большинства задач выбора в нечеткой среде.

Экспериментальное определение нечеткой меры

Рассмотрим метод приближенного экспериментального определения нечеткой меры. Предположим, что существует m объектов. Пусть \(h_j :K \to [0,1]\) — частная оценка j -го объекта, а e_{j} — общая оценка. Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки d_{j} из интервала [0,1] для всех объектов.

Обозначим \(
\bar e = \max \{ e_j \} ,\quad \underline e  = \min \{ e_j \}
\) и аналогично \(\bar d\) и \(\underline d\). Производя нормализацию e_{j}, мы имеем

w_j  = \frac{{\bar d - \underline d }}
{{\bar e - \underline e }}e_j  + \frac{{\underline d \bar e - \bar d\underline
e }}
{{\bar e - \underline e }}.

Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии минимума критерия

J = \sqrt {\frac{1}
{m}\sum\limits_{j = 1}^{} {(d_j  - w_j )^2 } } .

Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства одномерных образов. Например, рассматривалось решение задачи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы. Известны применения нечетких мер для оценки привлекательности экскурсионных районов, которые оценивались по таким показателям, как красота природы, архитектурные памятники и т.п. Результаты оценок использовались для прогнозирования числа экскурсий в ближайшие десять лет.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

Владимир Васильев
Владимир Васильев
Россия, г. Липецк
Berkut Molodoy
Berkut Molodoy
Россия