Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик

Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Супераддитивные меры

Функция доверия. Определение функции доверия предполагает, что степень доверия высказыванию A, которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию A и его отрицанию \(\bar A\) также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание A является истинным с определенной степенью s\in [0,1], его мера неопределенности выражается с помощью функции

b(B) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B =
X;}  \\
   {s,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B
\supset A,\;B \ne X;}  \\
   {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B\not 
\supset A;}  \\
\end{array} } \right.
которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на A.

Если s=1, то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на A.

Если s=0 или A=X, то тогда b(B) называется пустой функцией доверия (полное незнание).

Итак, функция доверия — это мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

  1. \(b(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(b(X) = 1;\)
  3. \(\forall A \in \wp \quad \;0 \leqslant b \leqslant 1;\)
  4. \(\displaystyle \forall A_1 ,\ldots ,A_n  \in \wp \quad b(A_1  \cup \ldots  \cup A_n ) \geqslant \)
    \(\displaystyle \quad \quad  \geqslant \;\sum\limits_{i = 1}^n {b(A_i )}  -
\sum\limits_{i < j} {b(A_i  \cap A_j )}  + \ldots  + ( - 1)^{n + 1} b(A_1 
\cap \ldots A_n ). \)

Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра \(C = \{ B \subset X|m(B) >0\}\), полностью упорядоченного по вложению.

Согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

  1. \(b(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(b(X) = 1;\)
  3. \(b(A \cap B) = \min \{ b(A),b(B)\} .\)

Субаддитивные меры

Мера правдоподобия

Мера правдоподобия множества A из X определяется как

Pl(A) = 1 - b(\bar A),
где bфункция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \(Pl(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(Pl(X) = 1;\)
  3. \(\forall A_1 ,\ldots ,A_n  \subseteq X\quad Pl(A_1  \cap \ldots  \cap A_n )\leqslant\)
    \(
\displaystyle \quad \quad  \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {Pl(A_i^{} )}  -
\sum\limits_{i < j} {Pl(A_i  \cup A_j )}  + \ldots  + ( - 1)^{n + 1} Pl(A_1
 \cup \ldots  \cup A_n ).
\)

Пусть \mu и \nu - две меры - такие, что \(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\). В этом случае \mu является функцией доверия тогда и только тогда, если \nuмера правдоподобия.

Мера возможности

Мерой возможности называется функция \(\Pi :\wp  \to [0,1]\), удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. \(\Pi (\varnothing ) = 0;\)
  2. \(\Pi (X) = 1;\)
  3. \(\displaystyle \forall i \in N,\;A_i  \subset X,\quad \Pi \left( {\mathop  \cup
\limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \mathop {\sup }\limits_{i \in N} \;\Pi
(A_i ).
\)

    где N — множество натуральных чисел.

Пусть \mu и \nu - две меры - такие, что \(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\). Нечеткая мера \mu является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, если \nu является мерой возможности.

Мера вероятности

Вероятностная мера ( \lambda =0 ) является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера p является вероятностной мерой тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:

  1. \(p(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(p(X) = 1;\)
  3. \(
\displaystyle \forall i \in N,\;A_i  \subset X,\forall i \leqslant j\quad
\left( {A_i  \cap A_j  = \varnothing \Rightarrow p\left( {\mathop  \cup
\limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \sum p (A_i )} \right).
\)

g_v -мера

Нечеткая мера g_{v} называется g_{v} -мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \(  g_v (\varnothing ) = 0;  \)
  2. \(  g_v (X) = 1;  \)
  3. \(\forall i \in N,\;A_i  \in \wp ,\;\forall i \ne j \)
    \(\displaystyle A_i  \cap A_j  = \varnothing \Rightarrow g_v \left(
{\mathop  \cup \limits_{i \in N} A_i } \right) = (1 - v)\mathop  \vee
\limits_{i \in N} g_v (A_i ) + v\sum\limits_{i \in N} {g_v (A_i ),\;v
\geqslant 0;}
\)
  4. \(
\forall A,B \in \wp \quad \left( {A \subseteq B\quad  \Rightarrow \quad g_v
(A) \leqslant g_v (B)} \right).
\)

Очевидно, что при v=0, g_{v} -мера является мерой возможности, а при v=1 — вероятностной мерой. Если v>1, то g_{v} -мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

Владимир Васильев
Владимир Васильев
Россия, г. Липецк
Berkut Molodoy
Berkut Molodoy
Россия