Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Классы нечетких отношений

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >

Задачи нечеткого упорядочения

Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно определить лишь нечеткое отношение предпочтения, т.е. указать для каждой пары альтернатив x и y лишь степени, с которыми выполняются предпочтения \(x \succ y\) и \(y \succ x\). В таких случаях задача принятия решения становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Для двух типов нечетких отношений можно предложить способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.

Пусть f(x,y)функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве X (например, отношения нестрого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества T=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}. Упорядочение можно осуществлять по значениям следующей функции:

f(x_i |T) = \mathop {\min }\limits_j \;f(x_i |x_j ),
где x_{j}\in T, а функция
f(x_i |x_j ) = \frac{{f(x_i ,x_j )}}
{{\max \{ f(x_i ,x_j ),f(x_j ,x_i )\} }}.
Для вычисления значений функции f(x_{i} | T) удобно пользоваться следующим равенством:
f(x_i |T) = \min \left\{ {\frac{{f(x_i ,x_1 )}}
{{f(x_1 ,x_i )}},\ldots  ,\frac{{f(x_i ,x_n )}}
{{f(x_n ,x_i )}}} \right\}.
По отношению к этому упорядочению максимальным в множестве T является элемент \(x_i^0\) такой, что
f(x_i^0 |T) = \mathop {\max }\limits_{x_k  \in T} \;f(x_k
|T).

Рассмотрим еще одну задачу упорядочения, иллюстрируемую следующим примером.

Требуется решить, кто из детей: старший сын x_{1}, младший сын x_{2} или дочь x_{3} больше всего похож на отца z. Заданы "результаты измерений": x_{1} и x_{2} взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0,8 и 0,5 соответственно; x_{2} и x_{3}, взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0,4 и 0,7 ; наконец, x_{1} и x_{3}, взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0,5 и 0,3.

Таким образом, в этой задаче, в отличие от предыдущей, имеется стандартный элемент (шаблон) для упорядочиваемого множества T, т.е. элемент, обладающий свойствами, общими для всех элементов этого множества. Иначе говоря, если f(x,y)нечеткое отношение в X\supset T (например, отношение сходства), то

f(z,x_i ) = 1,\quad \quad
\t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char235}\t{\char254}\t{\char225}\t{\char238}\t{\char227}\t{\char238}\;x_i  \in T.

При наличии стандартного элемента для каждой пары элементов x и y множества T задаются величины f(x, y: z), f(y, x: z), т.е. степени отношения (например, сходства) x и y, взятых отдельно, к z. Упорядочение элементов множества T с заданным таким способом нечетким отношением предлагается осуществлять в соответствии со значениями функции

f(x_j |T:z) = \min \left\{ {\frac{{f(x_j ,x_1 :z)}}
{{f(x_1 ,x_j :z)}},\ldots  ,\frac{{f(x_j ,x_n :z)}}
{{f(x_n ,x_j :z)}}} \right\}.

Максимальным в смысле этого упорядочения является элемент \(x_i^0\) такой, что

f(x_i^0 |T:z) = \mathop {\max }\limits_{x_k  \in T} \;f(x_k
|T:z).

Для задачи о сходстве отца и детей значения этой функции таковы:

f(x_1 |T:z) = 1,\quad f(x_2 |T:z) = {4 \mathord{\left/
 {\vphantom {4 7}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} 7},\quad f(x_3 |T:z) = {3 \mathord{\left/
 {\vphantom {3 5}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} 5}.

Отсюда вытекает, что наиболее похож на отца старший сын, затем следуют дочь и младший сын.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

Владимир Васильев
Владимир Васильев
Россия, г. Липецк
Berkut Molodoy
Berkut Molodoy
Россия