Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Классы нечетких отношений

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >

Задачи нечеткой классификации

Пусть имеется набор X фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть f_{1}(x,y)функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий x и y значение f_{1}(x,y) есть субъективная оценка человеком степени сходства x и y. Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.

Заметим, что нечеткое отношение f_{1}(x,y) обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для f_{1}(x,y) вводится n -шаговое отношение f_{n}(x,y) следующим образом:

f_n (x,y) = \mathop {\sup }\limits_{x_1 \ldots  x_{n - 1} 
\in X} \;\min \{ f_1 (x,x_1 ),\ldots ,f_1 (x_{n - 1} ,y)\} .
Это отношение является n -арной композицией исходного "экспериментального" отношения f_{1}(x,y) и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых x, y\in X выполняется цепочка неравенств
0 \leqslant f_1 (x,y) \leqslant f_2 (x,y) \leqslant \ldots 
 \leqslant f_n (x,y) \leqslant \ldots  \leqslant 1,
из которой следует, в частности, что для любых x, y\in X последовательность \{f_{k}(x,y)\} имеет предел при k\to\infty. Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством
f(x,y) = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \;f_k
(x,y),\quad
\t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;x,y \in X.

Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений f_{1}(x,y) и следующим образом используется для классификации.

Для произвольного числа \lambda ( 0<\lambda<1 ) вводится обычное (не нечеткое) отношение R_{\lambda}:

R_\lambda  (x,y)\quad  \Leftrightarrow \quad f(x,y)
\geqslant \lambda .

Нетрудно показать, что для любого \lambda ( 0<\lambda<1 ) R_{\lambda} есть отношение эквивалентности в X, т.е. для любых x, y\in
X выполняются обычные аксиомы эквивалентности

(1) R_{\lambda} (x,x)рефлексивность,

(2) R_{\lambda} (x,y) \Longrightarrow R_{\lambda} (y,x)симметричность,

(3) R_{\lambda} (x,y)\& R_{\lambda} (y,z) \Longrightarrow R_{\lambda} (x,z)транзитивность.

Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение f(x,y) обладает свойством нечеткой транзитивности

f(x,z) \geqslant \min \{ f(x,y),f(y,z)\} ,\quad \quad
\t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;x,y,z \in X.

Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества X на классы эквивалентности по полученному отношению R_{\lambda}.

Выбор величины порога \lambda в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину \lambda выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению R_{\lambda}.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.