Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Классы нечетких отношений

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >

Отношения сходства и различия

Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из X указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.

Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде

S \supseteq S \circ S,
которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:

  • ( \wedge )-транзитивность
    \forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _S (x,z) \geqslant \mu
_S (x,y) \wedge \mu _S (y,z)
.
  • ( \cdot )-транзитивность
    \forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _S (x,z) \geqslant \mu
_S (x,y) \cdot \mu _S (y,z)
.
  • ( \Delta )-транзитивность
    \forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _S (x,z) \geqslant \mu
_S (x,y) + \mu _S (y,z) - 1
.

Наиболее интересными свойствами обладает ( \wedge )-транзитивное отношение сходства S, которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или отношением подобия. Нетрудно показать, что любой \alpha -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов X на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности \alpha -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества X, соответствующих различным \alpha -уровням, причем с уменьшением \alpha происходит укрупнение классов эквивалентности \alpha -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества X на непересекающиеся классы эквивалентности.

Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества X на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда L=[0,1], отношение сходства S транзитивно тогда и только тогда, если для любых \(x,y,z \in X\) из трех чисел \(\mu _S (x,y),\mu _S (y,z),\mu _S (x,z)\), по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.

отношением различия D называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различия двойственно отношению сходства. В случае, когда L=[0,1], эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:

\mu _D (x,y) = 1 - \mu _S (x,y)
,
что можно записать в алгебраической форме как \(D = \bar S\).

Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:

\forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _D (x,z) \leqslant \mu
_D (x,y) \vee \mu _D (y,z)
.

Очевидно, что это условие двойственно условию ( \wedge )-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношений это представление получило естественное объяснение.

Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:

\forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _D (x,z) \leqslant \mu
_D (x,y) + \mu _D (y,z)
.

От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является ( \Delta )-транзитивное отношение сходства.

Двойственным условию ( \cdot )-транзитивности является следующее условие:

\forall x,y,z \in X\quad \quad \mu _D (x,z) \leqslant \mu
_D (x,y) + \mu _D (y,z) - \mu _D (x,y)\mu _D (y,z)
.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.