Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Нечеткие отношения

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

Транзитивное замыкание нечетких отношений

Большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные отношения. Они обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества X. Например, если отношение R в X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества X на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в X придать смысл "предпочтения" или "доминирования", то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества X, существование "наилучших", "недоминируемых" объектов и т.п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания нечеткого отношения.

Транзитивным замыканием отношения R называется отношение \(\hat R\), определяемое следующим образом:

\hat R = R^1  \cup R^2  \cup \ldots  \cup R^k  \cup \ldots
,
где отношения \(R^k\) определяются рекурсивно:
R^1  = R,\quad R^k  = R^{k - 1}  \circ R,\;\;k =
2,3,4,\ldots .

Теорема. Транзитивное замыкание \(\hat R\) любого нечеткого отношения R транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим R , т.е. \(R \subseteq \hat R\) , и для любого транзитивного отношения T , такого, что \(R \subseteq T\) , следует \(\hat R \subseteq T\).

Как следствие из данной теоремы получаем, что R транзитивно тогда и только тогда, если \(R = \hat R\).

Если множество X содержит n элементов, то имеем

\hat R = R^1  \cup R^2  \cup \ldots  \cup R^n.

В случае, когда R рефлексивно, имеем

R \subseteq R^1  \subseteq \ldots  \subseteq R^{n - 1}  =
R^n  = R^{n + 1}  = \ldots

Весьма полезным фактором является то, что \alpha -уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения R совпадает с транзитивным замыканием соответствующего \alpha -уровня:

(\hat R)_\alpha   = (\hat R_\alpha  ),\quad \quad
\t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\quad \alpha  \ne 0.

Заметим, что при транзитивном замыкании нечеткого отношения R в общем случае сохраняются лишь некоторые свойства отношения R. Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, линейность и транзитивность.

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

Владимир Васильев
Владимир Васильев
Россия, г. Липецк
Berkut Molodoy
Berkut Molodoy
Россия