Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Нечеткие отношения

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

Свойства нечетких отношений

Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.

1. Рефлексивность:

E \subseteq R,\quad \quad \quad \forall x \in X\quad R(x,x)
= I
.

2. Слабая рефлексивность:

\forall x,y \in X\quad R(x,y) \leqslant R(x,x)
.

3. Сильная рефлексивность:

\forall x,y \in X\quad R(x,y) < I
.

4. Антирефлексивность:

R \cap E = \varnothing \quad \quad \quad \forall x \in
X\quad R(x,x) = 0
.

5. Слабая антирефлексивность:

\forall x,y \in X\quad R(x,x) \leqslant R(x,y)
.

6. Сильная антирефлексивность:

\forall x,y \in X\quad 0 < R(x,y)
.

7. Симметричность:

R = R^{ - 1} ,\quad \quad \quad \forall x,y \in X\quad
R(x,y) = R(y,x)
.

8. Антисимметричность:

R \cap R^{ - 1}  \subseteq E,\quad \quad \quad \forall x,y
\in X(x \ne y)\quad R(x,y) \wedge R(y,x) = 0
.

9. Асимметричность:

R \cap R^{ - 1}  = \varnothing ,\quad \quad \quad \forall
x,y \in X\quad R(x,y) \wedge R(y,x) = 0
.

10. Сильная линейность:

R \cup R^{ - 1}  = U,\quad \quad \quad \forall x,y \in
X\quad R(x,y) \vee R(y,x) = I
.

11. Слабая линейность:

\forall x,y \in X\quad R(x,y) \vee R(y,x) > 0
.

12. Транзитивность:

R \supseteq R \circ R,\quad \quad \quad \forall x,y,z \in
X\quad R(x,z) \geqslant R(x,y) \wedge R(y,z)
.

Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии \alpha -уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что L линейно упорядочено.

\alpha -уровнем нечеткого отношения R называется обычное отношение \(R_\alpha\), определяемое для всех \alpha>0 следующим образом:

R_\alpha   = \left\{ {(x,y) \in X^2 |R(x,y) \geqslant
\alpha } \right\}
.

Очевидно, что \alpha -уровни нечетких отношений удовлетворяют соотношению:

\alpha  \leqslant \beta \quad  \Rightarrow \quad R_\alpha  
\supseteq R_\beta
,
представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема. Нечеткое отношение R обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильной антирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его \alpha -уровни.

Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений. Во-первых, она показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай нечетких отношений, и приводит ясный способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве X некоторого отношения заданного типа, например эквивалентности или порядка, то построение на X соответствующего нечеткое отношение позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, а это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, допуская подобную неоднозначность возможных решений, ограничений и целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

Нечеткое отношение R может быть представлено в следующем виде:

R = \mathop  \cup \limits_\alpha  \,\alpha R_\alpha
,
где отношения \(\alpha R_\alpha\) определяются следующим образом:
\alpha R_\alpha  (x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha ,} &
{\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;R_\alpha  (x,y) = 1,}  \\
    0 &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
\end{array} } \right.

Кроме всех вышеописанных свойств, выполняющихся для всех \alpha -уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких \alpha -уровней. Приведем примеры таких \alpha -свойств, предполагая, что элемент \alpha фиксированный:

\alpha -симметричность

\forall x,y \in X\quad R(x,y) \geqslant \alpha \quad 
\Rightarrow \quad R(y,x) \geqslant \alpha
;

\alpha -транзитивность

\forall x,y,z \in X\quad R(x,y) \geqslant \alpha ,R(y,z)
\geqslant \alpha \quad  \Rightarrow \quad R(x,z) \geqslant R(x,y) \wedge R(y,x)
.

Аналогично могут быть определены и другие \alpha -свойства. Они могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог на силу отношения R либо ищется такое \alpha, при котором \(R_\alpha\) обладает требуемым свойством.

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.