Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Нечеткие отношения

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

Операции над нечеткими отношениями

Объединение и пересечение нечетких отношений определяется следующим образом:

\begin{gathered}
\forall x \in X\;\forall y \in Y\quad \quad R \cup S\;(x,y) = R(x,y) \vee
S(x,y)
,
\\
\forall x \in X\;\forall y \in Y\quad \quad R \cap S\;(x,y) = R(x,y) \wedge
S(x,y)
\end{gathered}

Отношение включения \(R \subseteq S\) для нечетких отношений определяется с помощью отношения частичного порядка на L:

\forall x \in X\;\forall y \in Y\quad \quad R \subseteq S\;
\Leftrightarrow R(x,y) \leqslant S(x,y)
.

Множество \(\rho \,(X \times Y)\) всех нечетких отношений между X и Y образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения и удовлетворяет следующим тождествам:

1. Идемпотентность:

R \cap R = R,\quad R \cup R = R
.

2. Коммутативность:

R \cap S = S \cap R,\quad R \cup S = S \cup R
.

3. Ассоциативность:

R \cap (S \cap T) = (R \cap S) \cap T,\quad R \cup (S \cup
T) = (R \cup S) \cup T
.

4. Дистрибутивность:

R \cap (S \cup T) = (R \cap S) \cup (R \cap T),\quad R \cup
(S \cap T) = (R \cup S) \cap (R \cup T)
.

Выполнение этих тождеств для \(\rho \,(X \times Y)\) следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки L. В \(\rho \,(X \times Y)\) выполняется также следующее соотношение:

S \subseteq T\quad  \Rightarrow \quad R \cup S \subseteq R
\cup T,\quad R \cap S  \subseteq R \cap T
.

Из полноты решетки L следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Эти элементы определяют, соответственно, пустое и универсальное нечеткие отношения:

\forall x\,\forall y\;\Theta (x,y) = 0,\quad \quad \forall
x\,\forall y\;U(x,y) = I
.

Следующее соотношение определяет композицию \(R \circ S\) нечетких отношений R и S:

\forall x \in X\;\,\forall z \in Z\quad R \circ S(x,z) =
\mathop  \vee \limits_{y \in Y} \left( {R(x,y) \wedge S(y,z)} \right)
.

Здесь \(\mathop  \vee \limits_{y \in Y}\) обозначает наименьшую верхнюю грань множества элементов \(\left( {R(x,y) \wedge S(y,z)} \right)\), где y пробегает все значения из Y. В силу полноты L эта операция всегда определена.

Существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, выводимых в L. В зависимости от того, является ли L множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь соответствующий вид. Например, если L является множеством действительных чисел, то операция \( \wedge\) может быть заменена на операцию взятия среднего арифметического, что дает другое определение операции композиции:

\forall x \in X\;\forall z \in Z\quad R \circ S(x,y) =
\bigvee \limits_{y \in Y} \left( {0,5(R(x,y) + S(y,z))} \right)
.

В случае \(L = \left[ {0,1} \right]\) мы имеем

\forall x \in X\;\forall z \in Z\quad \mu _{R \circ S}
(x,z) =
\bigvee \limits_{e \in Y} (\mu _R (x,y) \wedge \mu _S (x,y))
.

Замена операции \( \wedge\) на операцию умножения дает следующее определение композиции: \( \forall x \in X\,\forall z \in Z\ \mu _{R \circ S} (x,z) = \mathop  \vee \limits_{e \in Y} (\mu _R (x,y) {\cdot} \mu _S (x,y)) .\)

Нечеткое отношение E такое, что

E(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {I,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x = y,}  \\
   0 &
{\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.}  \\
\end{array} } \right.
играет по отношению к операции композиции роль единицы: \(E \circ R = {R \circ
E} = R\). В теории четких отношений отношение Е называется отношением равенства.

Для любого нечеткого отношения R определяется также обратное отношение \(R^{ - 1}\):

\forall x,y \in X\quad R^{ - 1} (x,y) = R(y,x)
.

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.