Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Нечеткие множества как способы формализации нечеткости

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Нечеткие операторы

Важным вопросом использования нечетких множеств в прикладных задачах является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантик. В теории нечетких множеств имеется возможность применять различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости от контекста и ситуации. Основные бинарные операции над нечеткими множествами были описаны выше. Однако можно показать, что для любых нечетких множеств операторы F = \min и G = \max являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих свойств:

  1. Коммутативность:
    F(\mu _A ,\mu _B ) = F(\mu _B ,\mu _A ),\quad G(\mu _A ,\mu _B ) = G(\mu _B ,\mu _A )
.
  2. Ассоциативность:
    \begin{gathered}
F(\mu _A ,F(\mu _B ,\mu _C)) = F(F(\mu _A ,\mu _B ),\mu _C ),\\
G(\mu _A ,G(\mu _B ,\mu _C)) = G(G(\mu _A ,\mu _B ),\mu _C )
\end{gathered}
.
  3. Дистрибутивность:
    \begin{gathered}
  F(\mu _A ,G(\mu _B ,\mu _C)) = G(F(\mu _A ,\mu _B ),F(\mu_A ,\mu _C )), \\
  \quad G(\mu _A ,F(\mu _B ,\mu _C)) = F(G(\mu _A ,\mu _B ),G(\mu _A ,\mu _C )) .\\
\end{gathered}
  4. Монотонность:
    \hspace{-.6cm}\mu _A  \leqslant \mu _C ,\;\mu _B^{}  \leqslant \mu _D \Rightarrow F(\mu _A ,\mu _B ) \leqslant F(\mu _C ,\mu _D ),\;G(\mu _A ,\mu _B ) \leqslant G(\mu _C ,\mu _D )
.
    \mu _A  < \mu _B \Rightarrow F(\mu _A ,\mu _A ) < F(\mu _B ,\mu _B ),\quad G(\mu _A ,\mu _A ) < G(\mu _B ,\mu _B )
.
    F(1,1) = 1,\quad G(0,0) = 0
.
    F(\mu _A ,\mu _B ) \leqslant \min \left\{ {\mu _A ,\mu _B } \right\},\quad G(\mu _A ,\mu _B ) \geqslant \max \left\{ {\mu _A ,\mu _B } \right\}
 .

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических переменных. Поэтому большой практический интерес представляет построение обобщенных нечетких операторов, т.е. параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др. Весьма общий и изящный подход к целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм

Определение. Треугольной нормой (сокращенно t -нормой) называется двухместная действительная функция T:\left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right], удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Ограниченность: T(0,0) = 0,\;T(\mu _A ,1) = T(1,\mu _A ) = \mu _A.
  2. Монотонность: \mu _A  \leqslant \mu _C ,\;\mu _B^{}  \leqslant \mu _D \Rightarrow T(\mu _A ,\mu _B ) \leqslant T(\mu _C ,\mu _D ).
  3. Коммутативность: T(\mu _A ,\mu _B ) = T(\mu _B ,\mu _A ).
  4. Ассоциативность: T(\mu _A ,T(\mu _B ,\mu _C)) = T(T(\mu _A ,\mu _B ),\mu _C ).

Треугольная норма T является архимедовой, если она непрерывна и для любого нечеткого множества \mu _A выполнено неравенство {T(\mu _A ,\mu _A ) < \mu _A}. Она называется строгой, если функция T строго возрастает по обоим аргументам. Примерами треугольных норм являются следующие операторы:

\begin{gathered}
T_{\min } (\mu _A ,\mu _B ) = \min \left\{ {\mu _A ,\mu _B } \right\}
,
\\
T_p (\mu _A ,\mu _B ) = \mu _A  \cdot \mu _B
,
\\
T_{\max } (\mu _A ,\mu _B ) = \max \left\{ {0,\mu _A  + \mu _B  - 1} \right\}
,
\\
T_w (\mu _A ,\mu _B ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mu _A ,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _\t{\char194}  = 1,} & {}  \\
   {\mu _\t{\char194} ,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _\t{\char192}  = 1,} & {}  \\
   0 & {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} & {}  \\
 \end{array} } \right.
\end{gathered}

Определение. Треугольной конормой (сокращенно t -конормой) называется двухместная действительная функция \bot :\left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right], удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Ограниченность: \bot (1,1) = 1,\; \bot (\mu _A ,0) =  \bot (0,\mu _A ) = \mu _A.
  2. Монотонность: \mu _A  \geqslant \mu _C ,\;\mu _B^{}  \geqslant \mu _D \,
\Rightarrow \,\bot (\mu _A ,\mu _B ) \geqslant \, \bot (\mu _C ,\mu _D ).
  3. Коммутативность: \bot (\mu _A ,\mu _B ) =  \bot (\mu _B ,\mu _A ).
  4. Ассоциативность: \bot (\mu _A , \bot (\mu _B ,\mu _C)) =  \bot ( \bot (\mu _A ,\mu _B ),\mu _C ).

Треугольная конорма \bot является архимедовой, если она непрерывна и для любого нечеткого множества \mu _A выполнено неравенство \bot (\mu _A ,\mu _A ) > \mu _A. Она называется строгой, если функция \bot строго убывает по обоим аргументам. Примерами треугольных конорм являются следующие операторы:

\begin{gathered}
 \bot _{\max } (\mu _A ,\mu _B ) = \max \left\{ {\mu _A ,\mu _B } \right\}
,
\\
\bot _p (\mu _A ,\mu _B ) = \mu _A  + \mu _B  - \mu _A  \cdot \mu _B
,
\\
 \bot _{\min } (\mu _A ,\mu _B ) = \min \left\{ {1,\mu _A  + \mu _B } \right\}
,
\\
 \bot _w (\mu _A ,\mu _B ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mu _A ,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _\t{\char194}  = 0,} & {}  \\
   {\mu _\t{\char194} ,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _\t{\char192}  = 0,} & {}  \\
   0 & {\t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} & {}  \\

\end{array} } \right.
\end{gathered}

В теории нечетких множеств оператор дополнения не является единственным. Помимо общеизвестного \forall x\;\bar \mu (x) = 1 - \mu (x), существует целый набор операторов дополнения нечеткого множества.

Пусть задано некоторое отображение \lambda :\left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right]. Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия:

(1) \lambda(0)=1, \lambda(1)=0

(2) \mu _A  \leqslant \mu _B^{} \quad  \Rightarrow \quad \lambda (\mu _A ) \geqslant \lambda (\mu _B )

Если кроме этого выполняются условия:

(3) \lambda — строго убывающая функция

(4) \lambda — непрерывная функция

то она называется строгим отрицанием.

Функция \lambda называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с условиями (1) и (2) для нее справедливо:

(5) \lambda (\lambda (\mu )) = \mu.

Приведем примеры функции отрицания:

  • Классическое отрицание: \lambda (\mu ) = \bar \mu (x) = 1 - \mu (x).
  • Квадратичное отрицание: \lambda (\mu ) = \sqrt {1 - \mu ^2 }.
  • Отрицание Сугено: \lambda (\mu ) = \frac{{1 - \mu }}
   {{1 + k\mu }},\quad \quad \t{\char227}\t{\char228}\t{\char229}\; - 1 < k < \infty.
  • Дополнение порогового типа: \lambda (\mu ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
      {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu  \leqslant \alpha ,}  \\
      {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu  > \alpha .}  \\

\end{array} } \right.

Будем называть любое значение \lambda, для которого \lambda (\mu ) =
\mu, равновесной точкой. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка.

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.