Опубликован: 21.06.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2775 / 781 | Оценка: 4.02 / 4.11 | Длительность: 13:28:00
ISBN: 978-5-9556-0123-6
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 1:

Логические основы ЭВМ

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >

Логические схемы

Составление таблиц истинности для логических схем

Для логических схем, представляющих собой соединение нескольких логических элементов, в левой части таблицы перечисляются все возможные комбинации входных сигналов, а в правой части - соответствующие значения на выходе логической схемы. Очевидно, что левые части таблицы будут одинаковыми для всех функций двух переменных, для всех функций трёх переменных и т.д. Традиционно комбинации сигналов в них располагают в порядке возрастания соответствующих двоичных кодов. На рис. 1.6 приведен пример логической схемы и таблица истинности, полностью описывающая ее работу.

Логическая схема и соответствующая ей таблица истинности

Рис. 1.6. Логическая схема и соответствующая ей таблица истинности

Вероятность ошибки уменьшается, если не решать задачу "в лоб", а проанализировать её работу с точки зрения уже известных нам правил логического сложения, умножения и инверсии. Очевидно, что в рассматриваемой схеме осуществляется логическое сложение нескольких логических произведений [3]. Можно записать логическое выражение, соответствующее данной схеме:

f = bd + \overline{a}cd + \overline{a}bd+ \overline{a}\overline{b}cd. ( 1.1)

Булево выражение в виде суммы произведений называется дизъюнктивно нормальной формой (ДНФ).

Булево выражение в виде произведения сумм называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

По правилу логического сложения выражение (1.1) имеет на выходе логическую 1 f=1 только в том случае, если равно 1 хотя бы одно из четырех произведений, входящих в сумму. По правилу логического умножения каждое произведение будет равно 1 только в том случае, когда все входящие в произведение переменные равны 1. Рассмотрим все эти возможности отдельно и по порядку.

  • Произведение bd будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и b=1, и d=1. При этом от значений остальных входных переменных - а и с - значение данного произведения не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках, соответствующих полным произведениям abcd, в которых b=d=1, а переменные а и с перечисляются во всех четырех возможных комбинациях: abcd = 0101, 0111, 1101 и 1111.
  • Произведение \overline{a}cd будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и \overline{a}= 1 (т.е. а=0 ), и с=1, и d=1. От значения не вошедшей в данное произведение переменной b произведение \overline{a}cd не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям abcd, в которых c=d=1 и одновременно а=0, а переменная b перечисляется во всех двух возможных комбинациях: abcd = 0011\text{ и }0111.
  • Произведение \overline{a}bd будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и \overline{a}= 1 (т.е. а=0 ), и b=1, и d=1. От значения не вошедшей в данное произведение переменной c произведение \overline{a}bd не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям abcd, в которых b=d=1 и одновременно а=0, а переменная c перечисляется во всех двух возможных комбинациях: abcd = 0101 \text{ и }0111.
  • Произведение \overline{a}\overline{b}cd будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и \overline{a}= 1 (т.е. а=0 ), \overline{b}= 1 (т.е. b=0 ), и с=1 и d=1. Поэтому логическая 1, соответствующая данному полному произведению всех переменных, будет только в той строке таблицы истинности, где abcd = 0011.

Анализ всех этих возможностей показывает, что они могут совпадать для нескольких произведений. Например, комбинация входных переменных 0011 встречается в произведениях \overline{a}cd и \overline{a}\overline{b}cd. А сочетание 0111 встречается даже в трех произведениях: и в bd, и в \overline{a}cd, и в \overline{a}bd. Это говорит о том, что для данного логического выражения есть возможности минимизации.Правила минимизации рассматриваются в лекции 2.

Ключевые термины

ДНФ - дизъюнктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде суммы произведений.

Инверсия - операция НЕ- логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логическую единицу на выходе.

Инвертор - логический элемент, реализующий операцию НЕ.

КНФ - конъюктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде произведения сумм.

Логическая переменная - переменная, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логическая схема - схема, состоящая из логических элементов.

Логическая функция - функция, включающая в себя логические переменные, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логический элемент - графическое представление элементарной логической функции.

Логическое отрицание - операция НЕ, инверсия - логическое действие, при котором происходит изменение состояния на противоположное.

Логическое сложение - операция ИЛИ, дизъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одной логической единицы на входе даёт логическую единицу на выходе.

Логическое умножение - операция И, конъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логический нуль на выходе.

Таблица истинности - таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

Краткие итоги

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем. Логические схемы, в свою очередь, состоят из логических элементов. Самыми простыми логическими элементами являются элементы И, ИЛИ и НЕ. Им соответствуют функции логического умножения, сложения и инверсии.

Набор для практики

Вопросы для самопроверки

  1. Нарисуйте элементы И на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  2. Нарисуйте элементы ИЛИ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  3. Нарисуйте элементы И-НЕ на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  4. Нарисуйте элементы ИЛИ-НЕ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  5. Какой уровень сигнала является решающим для логического сложения? для логического умножения? для функции И-НЕ? для функции ИЛИ-НЕ?
  6. Что такое таблица истинности?
  7. Сколько строк в таблице истинности для 5-входовой логической схемы? для 4-входовой? для 2-входовой?
  8. Функция скольких переменных описывается таблицей истинности длиной 4 строки? 64 строки? 512 строк?
Лекция 1: 12 || Лекция 2 >