Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 871 / 65 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 16:

Приближение сплайнами

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >

Практическое занятие "Аппроксимация функций"

Цель занятия

Практическое проведение интерполяции для конкретных функций и изучение свойств интерполяционных функций.

Практическая задача

В настоящем занятии мы разберем пример построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. Мы рассмотрим простейшую функцию

f(x)=\sin x
Возьмем известные значения этой функции в точках
x_0=0,\ x_1=\frac{\pi}{6},\ x_2=\frac{\pi}{4},\
x_3=\frac{\pi}{3},\ x_4=\frac{\pi}{2}.
В этих точках наша функция, как известно, принимает следующие значения
f_0=0,\ f_1=\frac{1}{2},\ f_2=\frac{1}{\sqrt{2}},\
f_3=\frac{\sqrt{3}}{2},\ f_4=1.
Построим интерполяционный многочлен в форме Лагранжа по этим точкам. Согласно известным формулам этот многочлен имеет следующий вид
P_4(x)=\sum\limits_{i=0}^4p^i_4(x)f_i,
где
p^0_4(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}
{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)},
p^1_4(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}
{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)},
p^2_4(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}
{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)},
p^3_4(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}
{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)},
p^4_4(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}
{(x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}.

Для использования этого многочлена, разумеется, нет необходимости раскрывать скобки. Для работы с этим многочленом мы напишем небольшой код на языке C#.

\begin{verbatim}
double pi = Math.PI;

int N = 4;

double[] xn = { 0, pi / 6.0, pi / 4.0, pi / 3.0, pi / 2.0 };

double[] fn = { 0, 1.0 / 2.0, 1.0 / Math.Sqrt(2.0),
Math.Sqrt(3.0) / 2.0, 1 };

double[] hn = new double[N + 1];

int i, j;

for (i = 0; i <= N; i++)
{
    hn[i] = 1.0;
    for (j = 0; j <= N; j++)
    {
        if (i == j)
        {
            continue;
        }

        hn[i] *= xn[i] - xn[j];
    }
}
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
double x = pi / 5.0;

double res = 0;

for (i = 0; i <= N; i++)
{
    double y;
    y = fn[i] / hn[i];

    for (j = 0; j <= N; j++)
    {
        if (i == j)
        {
            continue;
        }

        y *= (x - xn[j]);
    }

    res += y;
}

Console.WriteLine("sin(pi/5) = {0}; Delta = {1}", res,
Math.Abs(res - Math.Sin(x)));
\end{verbatim}

В этой программе мы вычисляем значение нашего интерполяционного многочлена в промежуточной точке x=\frac{\pi}{5} и сравниваем с "точным" значением \sin \frac{\pi}{5}. После запуска мы получим следующий результат.

sin(pi/5) = 0.587809514030551; Delta = 2.42617380783461E-05

Можно считать, что это очень не плохой результат для интерполяции функции по столь малому количеству точек.

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау