Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 871 / 65 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 14:

Нелиненйые уравнения

< Лекция 13 || Лекция 14: 123 || Лекция 15 >

Практическое занятие "Решение линейных и нелинейных уравнений"

Цель занятия

Аппробировать базовые численные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений и нелинейных трансцендентных уравнений.

Практическая задача

Как мы уже отмечали на лекциях, важнейшим понятием для решения системы линейных алгебраических уравнений является число обусловленности матрицы. Вычислим это число для некоторых матриц. Согласно определению находить это число затруднительно. Однако для симметричных положительно определенных матриц это число может быть найдено с помощью собственных значений этой матрицы. Пусть симметричная положительно определенная матрица A имеет собственные значения \lambda_{min},\ldots,\lambda_{max}, где \lambda_{min} - минимальное собственное значение, а \lambda_{max} - максимальное собственное значение. Тогда число обусловленности этой матрицы можно вычислить по формуле

\mu(A)=\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}.

Рассмотрим матрицу

A=\left(%
\begin{array}{cc}
  1 & 1/2 \\
  1/2 & 2 \\
\end{array}%
\right)
Эта матрица является симметричной положительно определенной матрицей. Вековое уравнение для этой матрицы имеет вид
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+\frac{7}{4}=0.
Вычисляя собственные функции этой матрицы, мы имеем \lambda_{min}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}, \lambda_{max}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}. Число обусловленности этой матрицы равно
\mu(A)=\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=2.7836114...

Рассмотрим применение метода Холецкого для этой матрицы. Напомним, что метод Холецкого позволяет найти такую матрицу L, которая имеет вид

L=\left(%
\begin{array}{cc}
  l_{11} & 0 \\
  l_{21} & l_{22} \\
\end{array}
\right)
и для которой выполнено равенство
A=LL^T.
Согласно методу Холецкого коэффициенты l_{ij} находятся следующим образом
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=1,
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{1}{2},
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^2}=\sqrt{2-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Таким образом мы имеем матрицу
L=\left(%
\begin{array}{cc}
  1 & 0 \\
  1/2 & \sqrt{7}/2 \\
\end{array}%
\right)

Теперь рассмотрим практические вопросы реализации метода Ньютона для нахождения решений трансцендентных уравнений. Напомним, что метод Ньютона применим для решения уравнений вида

f(x)=0,
где f(x) - непрерывно дифференцируемая функция. Основной вопрос, который здесь возникает, состоит в том, чтобы быть уверенным в сходимости итераций Ньютона. Основным достаточным условием сходимости итераций Ньютона является выполнение неравенства
|f(x)f'(x)|<(f'(x))^2.
Найдем с помощью этого соотношения отрезок, на котором гарантированно сходится метод Ньютона для уравнения
x^p=C,\quad p>0,\ C>0.
В этом случае мы имеем функцию f(x)=x^p-C. Производная этой функции имеет вид f'(x)=px^{p-1}. Тогда имеем неравенство
(x^p-C)px^{p-1}<p^2x^{2p-2}.
Отсюда получаем
x^p-C<px^{p-1}
-C<x^p(p-x).
Получаем, что на интервале (0,p) метод Ньютона сходится.

< Лекция 13 || Лекция 14: 123 || Лекция 15 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау