Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 871 / 65 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 12:

О решении операторных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >

Практическое занятие "Реализация операторов в гильбертовых пространствах"

Цель занятия

Продемонстрировать на характерных примерах реализацию линейных операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах.

Практическая задача

Будем рассматривать абстрактное гильбертово пространство H, которое задано с помощью своего ортонормированного базиса e_k. Если в качестве пространства H взять гильбертово пространство L_2(0,\pi), то в качестве ортонормированного базиса можно взять систему функций

e_0=\frac{1}{\sqrt{\pi}},
e_k=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos kx,\quad k=1,2,\ldots.

Рассмотрим реализацию линейного оператора, действующего в пространстве H, заданного с помощью бесконечной матрицы. Зададим формально бесконечную матрицу \Lambda как множество

\Lambda=\{\lambda_{ij}\}_{i,j=0}^\infty,
где \lambda_{ij} суть комплексные числа, которые убывают по модулю достаточно быстро.

Действие оператора \Lambda на некоторый элемент

x=\sum\limits_{k=0}^\infty x_ke_k
можно вычислить по формуле
\Lambda
x=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\sum\limits_{l=0}^\infty\lambda_{kl}x_l\right)e_k.
Мы будем предполагать, что все возникающие у нас ряды являющиеся сходящимися.

На лекциях мы встречались с операторами, которые представлялись диагональной матрицей, и по сути сводились к умножению коэффициентов Фурье на числа. Сейчас мы рассмотрим более общие операторы.

В качестве примера рассмотрим оператор \Lambda_1, который задается матрицей

\Lambda_1=\left\{\frac{1}{1+i^2+j^2}\right\}_{i,j=0}^\infty,
здесь - \lambda_{ij}=\frac{1}{1+i^2+j^2}.

Пусть мы рассматриваем пространство L_2(0,\pi) с заданным выше ортонормированным базисом. Рассмотрим функцию f(x)=x. Эта функция представляется следующим рядом Фурье

f(x)=\frac{1}{2}\pi^2+
\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{\pi}\frac{1}{k^2}((-1)^k-1)\cos kx
После действия нашим оператором \Lambda_1 мы получим функцию, которая представляется следующим рядом Фурье

\Lambda_1f(x)=\frac{1}{2}\pi^2+
\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{\pi}\sum\limits_{l=0}^\infty
\frac{1}{1+k^2+l^2}\frac{1}{l^2}((-1)^l-1)\cos kx

Рассмотрим еще интересный оператор \Lambda_2, действие которого можно описать следующим образом. Пусть задан элемент пространства H своим рядом Фурье

x=\sum\limits_{k=0}^\infty x_ke_k.
Тогда элемент y=\Lambda_2x будет задаваться следующим рядом Фурье
y=\sum\limits_{k=1}^\infty x_{k-1}e_k.
Посмотрим как действует этот оператор в пространстве L_2(0,\pi). Рассмотрим простейшую функцию f(x)=1. Представим эту функцию в виде ряда Фурье
1=\sqrt{\pi}e_0+0e_1+0e_2+\ldots
После действия оператора \Lambda_2 на эту функцию мы получим функцию \Lambda_2f(x), представимую в виде
\Lambda_2f(x)=\sqrt{\pi}e_1=\sqrt{\pi}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos
x=\sqrt{2}\cos x.

Для оператора \Lambda_2 можно привести обратный оператор \Lambda_3, который действует согласно следующей формуле

\Lambda_3\left(\sum\limits_{k=1}^\infty
x_ke_k\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty x_{k+1}e_k.
Легко видеть, что для любого элемента x\in H имеет место
\Lambda_3\Lambda_2x=x.
Равенство
\Lambda_2\Lambda_3x=x.
верно только для таких x\in H, для которых x_0=0.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау