Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 872 / 65 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 12:

О решении операторных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Аннотация: Рассмотрены вопросы конструктивного решения операторных уравнений, заданных линейным неограниченным уравнением. Изложение ведется на основе краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Цель лекции: Показать способы решения операторных уравнений а гильбертовом пространстве. Реализовать с помощью объектно-ориентированного программирования на C# классы для решения этих задач.

Как мы уже отмечали, многие математические задачи могут быть записаны в виде операторных уравнений. И одной из основных задач при рассмотрении операторных уравнений является нахождение обратного оператора. Мы рассмотрим методы решения операторных уравнений, основанные на методе Галеркина. Основным модельным примером в нашем рассмотрении будет краевая (двухточечная) задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Мы будем рассматривать следующее уравнение

-y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x),\ x\in(0,\pi), ( 11.1)
со следующими краевыми условиями
y(0)=y(\pi)=0 ( 11.2)
Коэффициенты p(x) и q(x), а также функция f(x) считаются известными. Однако в этой лекции мы будем рассматривать лишь случай, когда p(x)\equiv0, а q(x)\equiv q\ge0.

Используя результаты предыдущей лекции, мы будем рассматривать следующее гильбертово пространство L_2(0,\pi), в котором в качестве базисных функций выбраны функции

e_k=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,\ k=1,2,\dots.
Введем еще одно пространство, которое обозначим H^2(0,\pi). Мы будем говорить, что функция u\in L_2(0,\pi) принадлежит пространству H^2(0,\pi), если коэффициенты Фурье этой функции:
u=\sum\limits_{k=1}^\infty u_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx
удовлетворяют следующему условию --- для них сходится ряд:
\|u\|_{H^2(0,\pi)}^2=\sum\limits_{k=1}^\infty k^2|u_k|^2<\infty.
Последнее условие требует более быстрого убывания коэффициентов Фурье, что соответствует большей гладкости решения. Как мы видели в прошлой лекции, если функция u\in H^2(0,\pi), то вторая производная этой функции (точнее, действие оператора {\cal D}^2 ) принадлежит L_2(0,\pi). Введем еще один простой оператор
Q:L_2(0,\pi)\to L_2(0,\pi)
умножения на константу q. Очевидно, что это тоже диагональный оператор, для которого коэффициенты \alpha_k равны
\alpha_k=q.
Тогда задачу 11.1 - 11.2 можно записать в операторном виде:
-D^2[y]+Q[y]=f, ( 11.3)
где $f\in L_2(0,\pi)$. Соответственно, решением задачи 11.3 называется функция $y\in H^2(0,\pi)$, удовлетворяющая уравнению 11.3.

Операторный подход позволяет довольно просто получить решение задачи 11.3. Чтобы вывести аналитико-численные формулы, для решения задачи 11.3 представим функцию f разложением в ряд:

f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,
где коэффициенты Фурье могут быть найдены по формуле
f_k=\int\limits_0^\pi f(x)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx dx.
Соответственно, решение y мы будем искать в виде:
y(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx.
Таким образом задача сводится к нахождению чисел y_k. Находить эти числа мы будем следующим образом - подставим разложение по базисным функциям в уравнение 11.3:
-{\cal D}^2[\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin
kx]+Q[\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin
kx]=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,
Что можно записать следующим образом
\sum\limits_{k=1}^\infty
\left(k^2+q\right)y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin
kx=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx
Умножая скалярно это равенство на базисные функции \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx, получаем цепочку (бесконечную) равенств:
(k^2+q)y_k=f_k.
Откуда получаем (в силу неотрицательности q ):
y_k=\frac{f_k}{k^2+q}.
Наш операторный подход позволяет получать решение краевой задачи для дифференциального уравнения используя лишь арифметические операции.

Единственный нетривиальный момент при применении нашего операторного подхода состоит в том, чтобы получить разложение правой части по выбранному базису. Однако поскольку для получения этого разложения нужно вычислять скалярные произведения, то мы можем воспользоваться ранее созданными классами для гильбертовых пространств.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау