НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 9: Метод вычисления оптимальных стратегий

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 06.11.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3338 / 1210 | Оценка: 4.24 / 3.67 | Длительность: 14:37:00

Темы: Математика, Образование

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Вычисление оптимальных стратегий в биматричных играх

Описание биматричной игры. Все игры которые были рассмотрены, относились к классу игр с нулевой суммой. Однако ряд конфликтных ситуаций, складывающихся в ходе действий, характерны тем, что выигрыш одной стороны не равен в точности проигрышу другой. Теоретико-игровыми моделями подобных ситуаций являются некооперативные игры с ненулевой суммой. Такие игры называются биматричными, потому что задание каждой такой игры сводится к заданию двух матриц и одинаковой формы: $A=||a_{ij}||; B=||b_{ij}|| при i=1,...m; j=1,...,n$ .

Процесс биматричной игры состоит в независимом выборе игроком I числа а игроком II — числа , после чего игрок I получает выигрыш $a_{ij}$ , а игрок II — выигрыш $b_{ij}$ .

Номера строк матриц и назовем чистыми стратегиями игрока I, а номера столбцов этих матриц – чистыми стратегиями игрока II. Тогда пары вида (i,j) будут являться ситуациями в чистых стратегиях биматричной игры, а числа $a_{ij}$ и $b_{ij}$ — выигрышами I и II игроков в ситуации (i,j) . Соответственно, распределение вероятностей применения чистых стратегий игрока I — x=(x_1,...,x_m) и игрока II — y=(y_1,...,y_n) будем называть смешанными стратегиями. Тогда пары вида (x,y) представляют ситуации биматричной игры в смешанных стратегиях, а числа $\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_iy_j$ и $\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij}x_iy_j$ являются математическими ожиданиями выигрыша I и II игроков.

Ситуацией равновесия биматричной игры в смешанных стратегиях будем называть такую пару (x^*,y^*) , при которой:

$\nu_I=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x^*_iy^*_j \ge \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_iy^*_j;\\ \nu_{II}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij}x^*_iy^*_j \ge \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ij}x_iy^*_j$

( 8.2)

,

где $\nu_I$ — математическое ожидание выигрыша игрока I;

$\nu_{II}$ — математическое ожидание выигрыша игрока II;

x^* — оптимальная смешанная стратегия игрока I;

y^* — оптимальная смешанная стратегия игрока II.

Задача

Построение и решение биматричной игры. Предположим, что противолодочная подводная лодка страны осуществляет поиск ракетной подводной лодки государства , которая маневрирует в строго определенной части района боевого патрулирования. В остальной части этого района действует противолодочная подводная лодка , которая осуществляет поиск противолодочной подводной лодки . Пусть каждая противолодочная лодка для обнаружения противника может использовать свою гидроакустическую станцию или в активном режиме, включая ее периодически, или только в пассивном режиме, выполняя непрерывный поиск.

Как противолодочная подводная лодка , так и ракетная подводная лодка с обнаружением сигналов гидролокатора может уклониться от противника. Однако периодичность включения гидролокатора делает обнаружение возможным, но недостоверным.

В подобной конфликтной ситуации одним из игроков является противолодочная подводная лодка , а другим — противолодочная подводная лодка .Очевидно, ракетная подводная лодка не может быть игроком, так как она имеет только один способ действий, заключающийся в скрытом маневрировании и выполнении уклонения с обнаружением сигналов гидролокаторов.

Характерным здесь является то, что каждый из игроков преследует разные, но не противоположные цели. Действительно, целью противолодочной подводной лодки является обнаружение ракетной подводной лодки, а целью противолодочной подводной лодки — обнаружение противолодочной подводной лодки . Поэтому для оценки достижения цели каждым из игроков в зависимости от выбранных способов действий (стратегий) необходимо иметь два критерия эффективности и соответственно две функции выигрыша. Тогда моделью подобной конфликтной ситуации будет конечная игра с ненулевой суммой, описываемая двумя матрицами одинаковой формы $A=||a_{ij}||$ и $B=||b_{ij}||$ , называемая биматричной.

Примем за критерий эффективности противолодочной подводной лодки (игрок I ) вероятность обнаружения ракетной подводной лодки $(a_{ij})$ , а за критерий эффективности противолодочной подводной лодки (игрок II ) – вероятность обнаружения противолодочной подводной лодки $L(b_{ij})$ . Тогда биматричная игра будет задана матрицей (рисунок 9.a) и матрицей (рисунок 9.b).

Рис. 9.a. Матрица A

Рис. 9.b. Матрица B

Где i=j=1 — использование активного режима;

i=j=2 — использование пассивного режима.

Для решения полученной биматричной игры $(2 \times 2)$ достаточно задать значения вероятностей $a_{ij}$ и $b_{ij}$ .

Пусть для конкретных значений вероятностей $a_{ij}$ и $b_{ij}$ биматричная игра задана матрицами (рис. 8.c) и (рис. 8.d).

Рис. 9.c. Матрица A

Рис. 9.d. Матрица B

Из анализа матриц и устанавливаем, что i_0=1 и j_0=1 , то есть игроки осуществляют ситуацию равновесия в чистых стратегиях, так как максимальные элементы матриц и принадлежат паре (1,1) .

Таким образом, моделью конфликтной ситуации, в которой противники преследуют разные, но не прямо противоположные цели, является биматричная игра. Ее особенность по сравнению с матричной игрой заключается в наличии двух матриц, элементы каждой из которых равны значениям критерия эффективности соответствующего игрока. Принцип оптимальности, лежащий в основе вычислительной процедуры смешанных стратегий, исходит из обеспечения игрокам выигрыша, которой остается неизменным и равным значению игры независимо от действий противника.

Дальше >>

Авторизоваться

Основы математического моделирования

Метод вычисления оптимальных стратегий

Вычисление оптимальных стратегий в биматричных играх

Задача

Вопросы и ответы