Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 06.11.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3333 / 1206 | Оценка: 4.24 / 3.67 | Длительность: 14:37:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Обоснование решений методами теории массового обслуживания

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >

Время обслуживания

Время обслуживания есть прежде всего характеристика функционирования каждого отдельного аппарата обслуживающей системы. Оно показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим аппаратом. Необходимо помнить, что этот показатель обслуживания ничего общего не имеет с оценкой качества обслуживания, а характеризует лишь пропускную способность одного обслуживающего аппарата. При этом предполагается, что если обслуживание требования, поступившего в систему, закончилось, то заявка удовлетворена полностью. В силу самых различных причин время обслуживания может меняться от одного требования к другому. Одной из важных причин является неполная идентичность поступающих требований. Другая, не менее важная причина – это состояние и возможности самих обслуживающих аппаратов. Поэтому в общем случае время обслуживания является случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения.

Если обозначить время обслуживания через \gamma, то полной его характеристикой будет функция распределения

F(t)=p\{\gamma < t\}(t\ge 0).

Так как время обслуживания не может быть отрицательной величиной, то

F(t)=0\ при\ t < 0.

О том, какой конкретный вид имеет функция распределения F(t), ничего нельзя сказать заранее без детального изучения функционирования обслуживающего аппарата. Даже в одной обслуживающей системе время обслуживания разных аппаратов может характеризоваться различными функциями распределения. Однако для простоты будем рассматривать системы, которые состоят из однотипных обслуживающих аппаратов, характеризуемых общим законом распределения времени обслуживания. Естественно, что знание функции распределения времени обслуживания как случайной величины имеет для нас весьма существенное значение, так как позволяет получить ответы на ряд важных вопросов.

Допустим, что в результате анализа функционирования обслуживающей системы мы определили вид функции распределения времени обслуживания для аппаратов этой системы:

F(t)=1-\frac{1}{(t+1)^2},

где t — время в мин.

Функция F(t) действительно может иметь такой вид, так как

0\le 1-\frac{1}{(t+1)^2} < 1

при условии, что 0\le t < \infty и

F_{(t)}^{\prime}=\frac{2}{(t+1)^3} > 0\  при\ t > 0,

то есть F(t) монотонно возрастает.

Тогда, зная вид функции F(t), можно ответить на целый ряд вопросов. Например, можно определить, какова будет вероятность того, что время обслуживания не превысит 10 мин. Эту вероятность мы получим, подставив t=10 в функцию F(t):

F(10)=1-\frac{1}{(10+1)^2}\approx 0,99.

Во многих задачах массового обслуживания большую роль играет показательный закон распределения времени обслуживания, при котором функция распределения времени обслуживания F(t) имеет вид

F(t)=1-e^{-\gamma t}(t\ge 0).

Параметр \gamma, входящий в показательный закон распределения, имеет простой физический смысл. Величина \frac{1}{\gamma} является средним временем обслуживания (математическим ожиданием времени обслуживания). При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность того, что обслуживание закончится вскоре после его начала, велика.

На практике, когда мы имеем дело с реальными процессами обслуживания. могут встречаться положения, при которых это свойство не имеет места. Поэтому, несмотря на то что процессы массового обслуживания с показательным законом распределения времени обслуживания до сих пор привлекают внимание многих исследователей, теоретический и практический интерес представляют и другие законы распределения времени обслуживания.

Нужно заметить, что значительные успехи в последнее время достигнуты благодаря использованию метода статических испытаний (метод Монте-Карло). Использование этого метода существенно расширило круг задач теории массового обслуживания, эффективное решение которых может быть получено с помощью вычислительных машин. В частности метод Монте-Карло позволяет получить решение задач массового обслуживания с любым законом распределения времени обслуживания.

Следует специально остановиться еще на одном важном свойстве показательного закона распределения времени обслуживания. Оно заключается в том, что при показательном законе распределения времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько оно уже длится.

Действительно, если обозначить через f_a(t) вероятность того, что обслуживание, которое уже длилось в течение a, продлится еще не менее t, то

f_0(t)=1-F(t)=e^{-\gamma t}

и

f_0(a+t)= e^{-\gamma(a+t)}

Здесь f_0(t)вероятность того, что время обслуживания \gamma будет не меньше t. Так как F(t)=P\{\gamma < t\}, то f_0(t), равное P\{\gamma \ge t\}, в сумме с F(t) равно единице. Поэтому

f_0(t)=1-P\{\gamma < t\}=1-F(t).

По теореме умножения вероятностей вероятность того, что обслуживание продлится не меньше чем a+t, равна произведению вероятностей того, что обслуживание продлится не меньше чем a, умноженному на вероятность того, что оно продлится не менее t, при условии, что оно уже длится в течение времени a, то есть

f_0(a+t)=f_0(a)f_0(t)

Поэтому

f_0(a)f_0(t)=e^{-\gamma(a+t)}=e^{-\gamma t}.

Следовательно, имеет место равенство

f_a(t)=e^{-\gamma t)=}=f_0(t),

так как из ранее сказанного видно, что

f_0(t)=e^{-\gamma t}.

Таким образом, условная вероятность f_a(t) совпадает с вероятностью f_0(t) и, следовательно, закон распределения не зависит от длины промежутка времени (0,a), в течение которого уже длится обслуживание данного требования.

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >
Данил Комардин
Данил Комардин

мне задали дистанционное задание на сертификат,но я не могу его найти