Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 06.11.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3333 / 1206 | Оценка: 4.24 / 3.67 | Длительность: 14:37:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Базовые идеи и методы теории вероятностей

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Задачи

Задача о наилучшем выборе. Предположим, что имеется некоторая совокупность из предметов, сравнивая которые, наблюдатель может сказать, который лучше или хуже, а задача состоит в том, чтобы выбрать предмет как можно лучше. Предположим, что эта задача осложняется следующим обстоятельством: осмотрев и отвергнув некоторый предмет, нельзя к нему возвращаться. Тогда, в частности, можно случайно отвергнуть абсолютно наилучший предмет в надежде найти еще более лучший при дальнейшем осмотре (представьте себе, например. разборчивую невесту, которая либо принимает предложение сватающегося жениха – и тогда на этом выбор заканчивается, либо отвергает его – и тогда он безвозвратно потерян для невесты).

Рассмотрим одно естественное правило выбора: не останавливаться на том предмете, который хуже какого-нибудь уже ранее осмотренного предмета. Будем считать, что наблюдатель руководствуется этим правилом, так что при последовательном осмотре имеющихся предметов он может сразу выбрать первый из них ( и на этом процесс выбора закончится); если он этого не сделал, то он продолжает осмотр до тех пор, пока на каком-то шаге не обнаружится предмет, который будет лучше всех осмотренных ранее. Наблюдатель может выбрать этот наилучший среди осмотренных предметов (и на этом процесс выбора заканчивается), а может продолжить осмотр в надежде найти еще лучше, и так далее.

Конечно, при этом не исключено, что на самом деле будет отвергнут абсолютно наилучший предмет, и тогда вообще ничего не будет выбрано. Но если число имеющихся предметов велико, то едва ли кто-нибудь согласится взять первый попавшийся предмет, не испытав счастья найти что-нибудь получше.

Предположим, что следуя описанному правилу, наблюдатель сделает выбор, остановившись на k -м осмотренном предмете, то есть последний из k осмотренных предметов оказался лучше всех предшествующих и на него-то и пал выбор. Какова вероятность того, что этот выбранный предмет является наилучшим среди всей совокупности как осмотренных, так и еще не осмотренных предметов?

Обозначим как B событие, состоящее в том, что среди k осмотренных предметов последний оказался наилучшим, Наблюдателю известно о том, что событие B произошло. Обозначим как A событие, состоящее в том, что kпо счету предмет является наилучшим среди всех имеющихся предметов. Вопрос касается условной вероятности P(A|B) события A при условии наступления события B. Эта условная вероятность P(A|B) находится по формуле 2.4. , так что для ответа на поставленный вопрос нужно найти вероятности событий B и AB. Очевидно, событие A содержится в B и пересечение AB совпадает с самим событием A. Описанные условия выбора таковы, что следует считать все возможные расположения предметов равновероятными. Вероятность события B совпадает с вероятностью того, что при случайной перестановке k отличимых друг от друга элементов (они отличаются по качеству) на фиксированном k -м месте окажется наилучший из этих k элементов. Такая вероятность равна \frac{(k-1)!}{k!}, где k! — число перестановок из k, (k-1)! — число перестановок из k-1 элементов, совместимых с тем условием, что на k-м месте зафиксирован наилучший элемент. Итак,

P(B)=\frac{(k-1)!}{k!}=\frac{1}{k}.

Совершенно аналогично отыскивается вероятность события A, которая совпадает с вероятностью того, что при случайной перестановке m отличимых друг от друга элементов на фиксированном k -м месте окажется вполне определенный элемент – наилучший предмет из всей имеющейся совокупности m предметов. Таким образом,

P(A)=\frac{(m-1)!}{m!}=\frac{1}{m},

и искомая условная вероятность P(A|B) есть

P(A)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{k}{m}.

Задача о лотерейных билетах. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы вероятность выигрыша была не меньшей, чем P?

Пусть общее количество лотерейных билетов равно N и M — общее количество выигрышей. Тогда вероятность того, что купленный лотерейный билет окажется из числа M выигрышных билетов, равна \frac{M}{N}. Приобретение каждого отдельного билета можно рассматривать как отдельное испытание с вероятностью "успеха" p=\frac{M}{N} в серии из n независимых испытаний ( n — число купленных билетов). Если считать, что вероятность p мала, как это обычно бывает, а заданная вероятность P сравнительно велика, то ясно, что нужно купить довольно большое число лотерейных билетов, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша была не меньше P. Поэтому случайное число выигрышных билетов приблизительно распределено по закону Пуассона, то есть вероятность того, что среди купленных билетов окажется равно k выигрышных, есть

P(k)\approx \frac{a^k}{k!}e^{-a},

где a=n\frac{M}{N}. Вероятность того, что хотя бы один из билетов будет выигрышным, есть 1-P(0)=1-e^{-a}, так что число нужно определить как наименьшее целое число, для которого

e^{-a}\le 1-P.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Данил Комардин
Данил Комардин

мне задали дистанционное задание на сертификат,но я не могу его найти