Целые и последовательности (последовательное распределение)

Различные способы представлений конечных последовательностей (или начальных сегментов бесконечных последовательностей) и операции над ними

Последовательное распределение. С вычислительной точки зрения простейшим представлением конечной последовательности является список ее членов, расположенных по порядку в последовательных ячейках памяти.

Так, хранится, начиная с ячейки хранится, начиная с ячейки хранится, начиная с ячейки и так далее, где - число ячеек, требуемых для хранения одного элемента последовательности.

Описанное выше представление последовательности имеет ряд преимуществ. Во-первых, оно легко осуществимо и требует небольших расходов в смысле памяти. Кроме того, оно полезно и потому, что существует простое соотношение между и адресом ячейки, в которой хранится

Это соотношение позволяет организовать прямой доступ к любому элементу последовательности. Наконец, последовательное представление имеет достаточно широкий диапазон и включает в себя в качестве специального случая представление многомерных массивов.

Например, чтобы представить массив размером

будем рассматривать его как последовательность в которой каждое в свою очередь является последовательностью из элементов -й строки нашей матрицы. Таким образом, число ячеек, требуемых для записи элемента (будем обозначать это число символом ), равно где - число ячеек, требуемых для записи элемента Поскольку последовательность начинается в ячейке ячейка для будет иметь следующий адрес: Это представление известно как построчная запись матрицы ; постолбцовая запись получается, если (2.4) рассматривать как последовательность в которой каждое в свою очередь является последовательностью из элементов -го столбца матрицы.

Последовательное распределение, наряду с преимуществами, имеет значительные недостатки. Например, такое представление становится неудобным, если требуется изменить последовательность путем включения новых и исключения имеющихся там элементов. Включение между и нового элемента требует сдвига вправо на одну позицию; аналогично, исключение требует сдвига тех же элементов на одну позицию влево. С точки зрения времени обработки, такое передвижение элементов может оказаться дорогостоящим, и в случае динамических последовательностей лучше использовать технику связного распределения, рассматриваемую в следующей лекции.

Характеристические векторы. Важной разновидностью последовательного распределения является случай, когда такому представлению подвергается последовательность некоторой основной последовательности В этом случае можно представить последовательность более удобно, используя характеристический вектор - последовательность из нулей и единиц, где -й разряд равен единице, если принадлежит рассматриваемой последовательности, и нулю в противном случае.

Например, характеристический вектор начального сегмента последовательности (2.3)

характеристический вектор для простых чисел: Здесь основной последовательностью является последовательность целых положительных чисел. В ЭВМ с 32-разрядными словами для запоминания простых чисел, меньших , потребуется слов. Замечая далее, что для число не простое, можно сэкономить половину этого поля, выписывая разряды только для чисел видов и запоминая, что простое число 2 отсутствует. Таким образом, простые числа, меньшие чем можно записать только 15625 словами. Поскольку число простых чисел, меньших равно 78498, последовательное представление, описанное ранее, потребовало бы поля в пять раз меньшего размера.

Характеристические векторы полезны в ряде случаев. Их полезность вытекает из их компактности, существования простого фиксированного соотношения между и адресом -го разряда и возможности при таком представлении очень легко исключать элементы.

Главное неудобство характеристических векторов состоит в том, что они не экономичны. Исключение составляют "плотные" последовательности последовательностей Кроме того, их трудно использовать, если не существует простого соотношения между и Если такое соотношение сложное, то использование характеристических векторов может быть очень не экономичным в смысле времени обработки. Если последовательности недостаточно плотные, то значительным может оказаться объем памяти. В случае простых чисел между и имеется простое соотношение: (или если использовать только нечетные числа). Теорема о простых числах утверждает, что число простых чисел, меньших приблизительно равно ; таким образом, простые числа относительно плотно распределены в множестве целых чисел.