Опубликован: 16.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3507 / 1694 | Оценка: 4.43 / 4.14 | Длительность: 27:21:00
Лекция 4:

Статистическое моделирование

3.7. Моделирование полной группы несовместных событий

Элемент системы (или система в целом) может находиться во многих (больше двух) несовместных состояниях. Известны вероятности нахождения системы в этих состояниях. Например, средство вооружения может находиться:

  • в боеготовом состоянии с вероятностью P_{1} ;
  • в неисправном состоянии и ремонтироваться силами своего расчета, вероятность этого состояния P_{2} ;
  • ремонтироваться в мастерской части - P_{3} ;
  • ремонтироваться на заводе - P_{4}. Очевидно, что P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} =1.

Такие и аналогичные события называются полной группой несовместных событий.

Алгоритм моделирования основан на следующей теореме.

Теорема. В полной группе несовместных событий моделью свершения события A_{m}, происходящего с вероятностью Р_{m}, является попадание значения х_i\in\gamma \sim Rav[0, 1] в отрезок, равный Р_{m}, числовой шкалы \sum\limits_{m=1}^{n} Р_{m} = 1, где n - число несовместных событий (рис. 3.15):

Событие A_{m} произошло

Рис. 3.15. Событие A_{m} произошло

Доказател ьство

Введем численные обозначения концов отрезков Р_{m} по нарастанию:

l_r = \sum\limits_{m=1}^{r} Р_{m}

В этом случае, согласно теореме, условием свершения события A_{m} является:

l_{m-1} \prec x_i \le l_m.

Следовательно

P(l_{m-1} \prec x_i \le l_m) = 
\int\limits_{l_{m-1}}^{l_m}{\gamma(x)dx} =  \int\limits_{l_{m-1}}^{l_m}{1\cdot dx} = 
\left ( l_m = \sum\limits_{1}^{m}{P_m}\right ) - \left ( l_{m-1} = \sum\limits_{1}^{m-1}{P_m}\right ) = P_m

Такой способ моделирования несовместных событий обычно называют определением исходов по жребию.

Алгоритм, реализующий способ определения исходов по жребию, может быть построен тремя вариантами, представленными на рис. 3.16.

Первый вариант (рис. 3.16а) применяется тогда, когда число возможных исходов невелико и не равно степени по основанию два.

На рис. 3.16б алгоритм построен по способу половинных сечений для четырех исходов.

Варианты алгоритма определения исходов по жребию

увеличить изображение
Рис. 3.16. Варианты алгоритма определения исходов по жребию

Третий вариант алгоритма (рис. 3.16в) в цикле определяет исход (событие), номер которого присваивается переменной k . Далее этот номер используется для организации нужной работы алгоритма. Применение данного алгоритма будет показано в главе 6 (п. 6.7 и п. 6.8).

Пример 3.8. Канал передачи данных может находиться в одном из четырех несовместных состояниях:

A_{1} - исправен и свободен, P_{1} = 0,15 ;

A_{2} - исправен и занят, P_{2} = 0,4 ;

A_{3} - неисправен, P_{3} = 0,25 ;

A_{4} - подавлен помехами, P_{4} = 0,2.

Решение

Представим необходимые для определения исходов по жребию данные табл. 3.3.

Таблица 3.3. Данные для определения исходов по жребию
Вероятности Событие
A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}
Вероятности событий 0,15 0,4 0,25 0,2
Суммарные вероятности ( l_{r} ) 0,15 0,55 0,8 1,0
Номера интервалов ( r ) 1 2 3 4

Предположим, что при выполнении i -ой реализации датчик равномерно распределенных случайных чисел \gamma\sim Rav[0, 1] сгенерировал x_{i} = 0.525. Путем последовательных сравнений определяется, что l _{1} < 0,525 \le l_{2}. Значит в данной реализации канал находится в состоянии A _{2} - исправен и занят.

3.8. Моделирование совместных независимых событий

Рассмотрим моделирование совместных независимых событий.

Способ моделирования состоит в том, что совместные независимые события сводятся к одному сложному событию.

Для лучшего понимания и обозримости способа рассмотрим моделирование двух событий A и B. Увеличение числа событий ничего принципиально нового в моделирование не вносит.

Пусть независимые события A и B происходят с вероятностями P(A) и P(B) соответственно. Например, это могут быть отказы монитора и процессора компьютера.

Моделирование такой ситуации может быть выполнено двумя способами:

  • определение совместных исходов выбором по жребию;
  • последовательная проверка исходов.

3.8.1. Определение совместных исходов по жребию

Прежде всего, по вероятностям P(A) и P(B) нужно определить вероятности возможных исходов, т. е. появления совместных независимых событий. Возможные исходы совместного события Q_{i} и соответствующие вероятности P_{i} представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Возможные исходы совместного события
Q_i AB \overline{A}B A \overline{B} \overline{A}\overline{B}
P_i P(A)P(B) [1-P(A)]P(B) P(A) [1-P(B)] 1-P_1
l_r l_1= P(A)P(B) l_2= l_1+[1-P(A)]P(B) l_3=l_2+ P(A) [1-P(B)] 1

Совместное событие в i -ой реализации определяется выбором исхода по жребию.

Если случайное число x_{i} \in \gamma \sim Rav[0, 1] при очередной реализации окажется, например, на участке l _{1} \prec x_{i} \le  l_{2}, то в данной реализации фиксируется свершение сложного события AB . Если же окажется x_{i} > l_{3}, то фиксируется событие AB . Алгоритм может быть построен по одному из приведенных на рис. 3.16 вариантов.

3.8.2. Последовательная проверка исходов

Алгоритм способа последовательной проверки исходов приведен на рис. 3.17.

 Алгоритм последовательной проверки исходов

Рис. 3.17. Алгоритм последовательной проверки исходов

Проверку свершения каждого из совместных событий надо осуществлять разными случайными числами, так как события независимые. При первом способе достаточно одного случайного числа x_{i}, но сравнений может быть больше. Кроме того, нужно предварительно рассчитывать вероятности возможных исходов.

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?