Опубликован: 16.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3504 / 1693 | Оценка: 4.43 / 4.14 | Длительность: 27:21:00
Лекция 3:

Типовые математические модели

2.8. Элементарные модели боя

Приемлемая по точности математическая модель такой сложной системы как бой невозможна из-за наличия неопределенных и неформализуемых факторов и уникальных ситуаций. Однако, приблизительные частные модели возможны и целесообразны для количественного обоснования некоторых решений, оценки обстановки, прогнозирования результатов решений и др.

Рассмотрим некоторые элементарные модели боя.

2.8.1. Модель высокоорганизованного боя

Постановка задачи

Две группировки А и Б ведут бой. В составе группировок А и Б N_{1} и N_{2} боевых единиц со скорострельностями \lambda_{1} и \lambda_{2} и вероятностями поражения цели при одном выстреле P_{1} и P_{2} соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками, танков с противотанковыми средствами, истребителей с бомбардировщиками и т. п.

Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:

  • любая боевая единица одной стороны, пока она не поражена, может вести огонь по любой непораженной боевой единице другой стороны;
  • разведка, связь и управление идеальны, то есть перенос огня каждого средства на новую цель происходит мгновенно после поражения предыдущей цели;
  • пораженная боевая единица в дальнейших действиях не участвует, то есть за время боя не восстанавливается, пополнения сторон нет;
  • временем полета носителя заряда пренебрегаем;
  • перенос огня не влияет на скорострельность и вероятность поражения;
  • количество боеприпасов неограниченно;
  • противоборствующие группировки достаточно многочисленны (это необходимое допущение будет обосновано при моделировании).

При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.

Цель моделирования. Прогнозирование средних количеств пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.

Моделирование

Описание состояний одной боевой единицы

Каждое средство противоборствующих сторон А и Б может находиться в одном из двух состояний соответственно:

S_{1}(S_{2}) - не поражено;

S^{'}_{1}(S^{'}_{2}) - поражено.

Построение размеченных графов состояний

Графы состояний для каждой группировки элементарны (рис. 2.21).

Граф состояний противоборствующих сторон

Рис. 2.21. Граф состояний противоборствующих сторон

Интенсивность \tilde{\lambda}_{2} - интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б, приходящихся на одну боевую единицу стороны А, то есть переводящих ее из состояния S_{1} в состояние S^{'}_{1}.

Аналогичные рассуждения объясняют \tilde{\lambda}_{1}. Очевидно, для начального состояния ( t = 0 ):

\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 N_2 P_2}{N_1};\;
\tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 N_1 P_1}{N_2}.
Составление уравнений динамики средних

В ходе боя численности боеспособных единиц сторон будут случайным образом изменяться (уменьшаться, так как пополнение средств поражения сторон мы пока не рассматриваем). Обозначим эти случайные численности каждой стороны x_{1}(t) и x_{2}(t) соответственно. Тогда:

\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 x_2(t)}{x_1(t)};
\tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 x_1(t)}{x_2(t)}.

Зависимость \lambda_{2}(t) и \lambda_{1}(t) от случайных значений x_{2}(t) и x_{1}(t) делает аналитическое решение задачи практически невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим x_{2}(t) и x_{1}(t) их матожиданиями m_{2}(t) и m_{1}(t).

Заметим, что m_{1}(t) и m_{2}(t) являются целью моделирования.

После замены выражения для \tilde{\lambda}_{2} и \tilde{\lambda}_{1} принимают вид:

\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)};\;
\tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)}.

Запишем уравнения динамики средних для состояний S_{1} и S_{2}:

\left \{ \begin{array}{l}
\cfrac{dm_1(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)} \cdot m_1(t);\\
\cfrac{dm_2(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)} \cdot m_2(t).\\
\end{array}

Для состояний S^{'}_{1} и S^{'}_{2} уравнения не нужны, так как средние численности этих состояний m^{'}_{1}(t) и m^{'}_{2}(t) однозначно связаны с m_{1}(t) и m_{2}(t):

m_{1}(t) + m^{'}_{1}(t) = N_{1};\; m_{2}(t) + m^{'}_{2}(t) = N_{2}.

После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\cfrac{{d{m_1}\left( t \right)}}{{dt}} =  - {\lambda _2}{P_2}{m_2}\left( t \right);} \\
  {\cfrac{{d{m_2}\left( t \right)}}{{dt}} =  - {\lambda _1}{P_1}{m_1}\left( t \right).}
\end{array}} \right.}&{\left( {2.3} \right)}
\end{array}$

Здесь и далее для лучшей обозримости аргумент t в m_{1}(t) и m_{2}(t) опустим.

Систему уравнений (2.3) обычно называют уравнениями динамики боя, иногда - уравнениями Ланчестера. Ланчестер - полковник английской армии времен первой мировой войны. Именно он предложил излагаемые подходы формализации боевых действий.

Решение уравнений динамики средних

Искомые численности сторон m_{1} и m_{2} находятся интегрированием системы (2.3) при начальных условиях:

t = 0,\; m_{1} = N_{1},\; m_{2} = N_{2}.

Решение имеет вид:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{m_1} = {N_1}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}}  \cdot t} \right) - {N_2}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _2}{P_2}}}{{{\lambda _1}{P_1}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}}  \cdot t} \right);} \\
  {{m_2} = {N_2}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}}  \cdot t} \right) - {N_1}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _1}{P_1}}}{{{\lambda _2}{P_2}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}}  \cdot t} \right).}
\end{array}} \right.$

Для лучшей обозримости введем обозначения:

\Lambda_{1} = \lambda_{1} P_{1} - эффективная скорострельность стороны А;

\Lambda_{2} = \lambda_{2} P_{2} - эффективная скорострельность стороны Б.

Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.

\mu_{1} = \cfrac{m_1}{N_1} - доля боеспособных единиц стороны А;

\mu_{2} = \cfrac{m_2}{N_2} - доля боеспособных единиц стороны Б;

\chi  = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}} - коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;

\tilde{t} = \sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}\cdot t - приведенное время.

С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - \cfrac{1}{\chi }\operatorname{sh} \tilde t;} \\
  {{\mu _2} = \operatorname{ch} \tilde t - \chi \operatorname{sh} \tilde t.}
\end{array}} \right.}&{\left( {2.4} \right)}
\end{array}$

Графически варианты решений модели в зависимости от коэффициента превосходства представлены на рис. 2.22.

Графики решений уравнений динамики средних

Рис. 2.22. Графики решений уравнений динамики средних

Из формул видно, что убывание численности группировок в большей мере зависит от соотношения сил N_{2} / N_{1}, чем от соотношения эффективных скорострельностей \Lambda_{2} / \Lambda_{1}: первое отношение входит в формулы непосредственно, а второе - под знаком корня. Увеличение начальной численности N_{1} в два раза удваивает параметр \chi, тогда как удвоение \Lambda_{1} увеличивает \chi только в \sqrt{2} = 1,4 раза. Поэтому повышение скорострельности менее выгодно.

В рамках данной модели при \chi > 1 выигрывает бой сторона А, при \chi < 1 - сторона Б.

Кривые \mu = f(\tilde{t}) на рис. 2.22 оборваны до достижения нуля, так как при малочисленных группировках метод динамики средних дает большие ошибки.

Если силы сторон равны ( \chi = 1 ), то динамика сохранения сил сторон одинакова; \mu_1 = \mu_{2} в любой момент боя. Бой будет продолжаться до определенного уровня истощения сил, после чего неизбежны попытки политического решения конфликта.

В рамках этой модели бой заканчивается разгромом слабой стороны тем быстрее, чем больше превосходство другой. Победа в этой модели достигается числом, не уменьем. Не учитывается опыт, способности командиров, обученность личного состава. Впрочем, параметр P косвенно учитывает обученность экипажей средств поражения.

Пример 2.11. Группировка, в составе которой 270 противотанковых средств (ПТС), находится в обороне. Скорострельность каждого ПТС 6 выстр./мин, вероятность поражения одним ПТС одного танка равна 0,3. Скорострельность танка 4 выстр./мин, вероятность поражения одним танком одного ПТС 0,25 при коэффициенте превосходства 1,2.

Спрогнозировать, сколько нужно танков, чтобы прорвать оборону при полном уничтожении ПТС группировки.

Решение

Известно, что

\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}};

откуда

N_1 = \cfrac{N_2\chi}{\cfrac{\sqrt{\Lambda_1}}{\sqrt{\Lambda_2}}} = \cfrac{270*1,2}{\cfrac{\sqrt{4*0,25}}{\sqrt{6*0,3}}} = 440.

Заметим, коэффициент преимущества \chi не имеет иного смысла, кроме упрощения формул для вычисления \mu_{1} и \mu_{2}. Поэтому результаты расчетов не имеют оперативно-тактического обоснования.

Задача 2.12. Сторона А имеет 30 огневых средств со скорострельностью каждого 5 выстр./мин и вероятностью поражения 0,2. Сторона Б имеет 40 огневых средств со скорострельностью каждого 4 выстр./мин и вероятностью поражения 0,3.

Провести расчеты для прогноза исхода боя, времени его окончания и количества сохранившихся огневых средств у победившей стороны.

Решение

Исходные данные

N_{1} = 30,\; \lambda_1 = 5 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,2;\\
N_{2} = 40,\; \lambda_1 = 4 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,3.

Прогнозирование исхода боя

Составим соотношения превосходства сторон:

\chi_{12} = \cfrac{N_1}{N_2}\sqrt{\cfrac{\lambda_1 P_1}{\lambda_2 P_2}} =
\cfrac{30}{40}\sqrt{\cfrac{5*0,2}{4*0,3}} = 0,68;\;
\chi_{21} = \cfrac{1}{\chi_{12}} = \cfrac{1}{0,68}=1,46.

Так как \chi_{21} > \chi_{12}, то преимущество будет у стороны Б, то есть победить должна сторона Б.

Прогнозирование времени окончания боя

Бой продолжается до полной победы, то есть \mu_1 = 0 или из (2.4)

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t = 0.}&{\left( {2.5} \right)}
\end{array}$

Учтем, что {\operatorname{ch} ^2}\tilde t - {\operatorname{sh} ^2}\tilde t = 1, откуда

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\operatorname{ch} }^2}\tilde t = 1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t.}&{\left( {2.6} \right)}
\end{array}$

С другой стороны, из (2.5) \operatorname{ch} \tilde t = {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t.

Из выражений (2.5) и (2.6) имеем:

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \chi _{21}^2{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t,\;1 = {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t(\chi _{21}^2 - 1),\;{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}},} \\
  {\operatorname{sh} \tilde t = \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} ,\;\tilde t = \operatorname{arcsh} \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} .}
\end{array}$

Так как \tilde{t} = \sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}t, то t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{\chi^2_{21} - 1}}}{\sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}}.

t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{1,46^2 - 1}}}{\sqrt{5*0,2*4*0,3}} = \cfrac{\operatorname{arcsh} 0,94}{\sqrt{1,2}} = \cfrac{0,84}{1,095} = 0,767.

Определение количества огневых средств, сохранившихся у стороны Б

\mu_2 = \ch\tilde{t} - \cfrac{1}{\chi_{21}}\sh\tilde{t}.

Так как из выражения (2.5) \ch\tilde{t} = \chi_{21}\sh\tilde{t}, то

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{\mu _2} = \left( {{\chi _{21}} - \cfrac{1}{{{\chi _{21}}}}} \right)\operatorname{sh} \tilde t = ({\chi _{21}} - {\chi _{12}})\operatorname{sh} \tilde t = } \\
  { = (1,46 - 0,68)\operatorname{sh} \tilde t = 0,78*0,94 = 0,73.}
\end{array}$

Теперь m_{2} = \mu_{2}N_{2} = 0,73*40 = 29,2.

К концу боя у стороны Б останется от 29 до 30 огневых средств, тогда как огневые средства стороны А будут полностью уничтожены.

Приведенные результаты прогноза исхода боя двух группировок являются приблизительными, оценочными, так как при малых количествах огневых средств ( \mu_1 \to 0 ) метод динамики средних, лежащий в основе уравнений динамики боя, может давать существенные ошибки.

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Елена Городниченко
Елена Городниченко
Украина, Киев