Опубликован: 16.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3501 / 1693 | Оценка: 4.43 / 4.14 | Длительность: 27:21:00
Лекция 3:

Типовые математические модели

2.7. Принцип квазирегулярности

Как показывает практика, метод динамики средних вполне приемлем и для немарковских процессов, то есть для произвольных распределений времен нахождения элементов в состояниях S_{i}.

Хотя в этих случаях мы формально не имеем права написать уравнения динамики средних, однако массовость явления делает вид распределения не очень существенным. Следовательно, при моделировании не следует тратить время на проверку марковости процесса. Чем больше элементов в системе, чем она сложнее, тем точнее она моделируется методом динамики средних.

При большом числе элементов также становится не очень существенным требование однородности элементов.

Теперь попробуем разобраться с требованием, которое мы также ввели ранее - требование независимости элементов.

Применяя метод динамики средних, мы можем встретиться с очень серьезной трудностью. Дело в том, что интенсивности потоков событий, переводящих элементы из одного состояния в другое, могут зависеть от численности состояний. Например, в примере 2.6 интенсивность \lambda_{12} зависит от того, сколько в данный момент времени находится СС в состоянии S_{2}: СС может либо сразу ремонтироваться, либо ожидать очереди ввиду занятости рабочих мест. Численности состояний случайны, следовательно, интенсивности потоков событий тоже случайны и неизвестны. Точное решение в таких ситуациях невозможно, однако вполне приемлемое для практики решение находится с помощью допущения, которое называют "принцип квазирегулярности".

Принцип квазирегулярности состоит в следующем: интенсивности \lambda_{i} зависят не от мгновенных значений численности состояний x_{i} , а от их средних значений (математических ожиданий) m_{i}.

Погрешность от этого допущения при моделировании тем меньше, чем ближе к линейной зависимости \lambda_{i} = f(m_{i}) и чем больше общее количество элементов N.

На практике проверено, что при N = 50 \ldots 100 точность моделирования приемлема для инженерных "прикидок", если же функции \lambda_{i} = f(mi) близки к линейным, то приемлемые результаты получаются и при N = 10.

Пример 2.9. Каждый автомат, находящийся на вооружении в воинской части, может находиться в исправном состоянии или ремонтироваться в мастерской части. Если бы каждый неисправный автомат сразу попадал к свободному мастеру, то никаких очередей из автоматов, ожидающих ремонта, не было, и граф состояний автомата имел бы вид, приведенный на рис. 2.17.

Здесь:

S_{1} - автомат исправен;

S_{2} - автомат неисправен, ремонтируется;

\lambda_{1} - интенсивность выхода автомата из строя;

\lambda_{2} - интенсивность ремонта автомата одним мастером.

Граф состояний автомата

Рис. 2.17. Граф состояний автомата

В этом случае \lambda_{1} и \lambda_{2} были бы постоянными величинами и, естественно, не зависели от численности состояний. Уравнения динамики средних имели бы вид:

\left \{ \begin{array}{l}
0 = - \lambda_{1}m_{1} + \lambda_{2}m_{2};\\
m_1 + m_2 = N;
\end{array}

так как мы полагаем, что процессы наработки на отказ и ремонта - марковские и стационарный режим существует. N - общее число автоматов в части.

Уравнение для состояния S_{2} не пишем, так как оно линейно зависит от первого.

А теперь предположим, что в мастерской части два мастера и неисправные автоматы могут ожидать ремонта. В этом случае интенсивность переходов из неисправного состояние в исправное зависит от числа автоматов, находящихся в мастерской. Обозначим эту интенсивность \tilde{\lambda}_{2}. Граф состояний имеет вид (рис. 2.18).

Граф состояний автомата

Рис. 2.18. Граф состояний автомата

Общую интенсивность ремонта мастерской обозначим \psi(x_{2}). График ее показан на рис. 2.19а.

Графики \phi(x2) и \lambda 2

Рис. 2.19. Графики \phi(x2) и \lambda 2

При x_{2} = 2 интенсивность \phi(2) максимальна, так как работают оба мастера. При дальнейшем увеличении x_{2} интенсивность \phi(2) возрастать не может.

Очевидно, интенсивность ремонта, приходящаяся на один автомат, находящийся в мастерской:

\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(x_2)}{x_2}\;.

График зависимости \tilde{\lambda}_{2} от х_{2} показан на рис. 2.19б.

Применим принцип квазирегулярности, то есть будем считать, что \tilde{\lambda}_{2} зависит не от случайных численностей х_{2}, а от среднего значения (матожидания) m_{2}. Тогда:

\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}

и уравнения динамики средних примут вид:

\left \{ \begin{array}{l}
0 = - \lambda_{1}m_{1} + \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}\;m_{2};\\
m_1 + m_2 = N.
\end{array}

Зависимость \phi(m_{2}) задана рис. 2.19б.

Пример 2.10. Вернемся к задаче о пеленгации передатчиков противника. Поскольку целью ее решения являлось определение среднего числа запеленгованных передатчиков, то возможно применение метода динамики средних. Обозначим:

S_{1} - состояние "передатчик запеленгован";

x - случайная численность состояния S_{1};

S_{2} - состояние "передатчик потерян";

\lambda - интенсивность обнаружения частоты передатчика противника одним оператором;

\mu - интенсивность потерь слежения запеленгованного передатчика противника;

(M - x) - текущее число операторов, ведущих поиск;

(M - x)\lambda - интенсивность обнаружения всеми операторами одного передатчика;

(N - x) - число не захваченных частот передатчиков, находящихся в состоянии S_{2}.

Граф состояний одного передатчика приведен на рис. 2.20. Заменим, в соответствии с принципом квазирегулярности, случайную численность обнаруженных передатчиков x на среднее значение \overline{n} и, учитывая наличие стационарности, запишем уравнение динамики средних:

0 = - \mu\overline{n} + (M - \overline{n})(N - \overline{n})\lambda.
Граф состояний передатчика

Рис. 2.20. Граф состояний передатчика

Уравнения динамики средних могут быть нелинейными и, следовательно, решение будет не единственным. В таких случаях берется то решение, которое не противоречит смыслу задачи.

Для упрощения расчетов положим M = N = 10;\;\lambda = \mu. В этом случае уравнение принимает вид:

\overline{n}^2 - 21\overline{n} + 100 = 0.

Его решение \overline{n} = 10,5 - \sqrt{\cfrac{21^2}{4} - 100} = 7,3 передатчика (знак плюс перед корнем отбрасываем, так как в этом случае корень будет равен 13,7, что бессмысленно). Решение этого примера с помощью уравнений Колмогорова дает ответ \overline{n} = 7,43. Расхождение в 2,5 % объясняется малочисленностью группировок M и N. Впрочем, полученный результат может быть вполне приемлемым.

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Елена Городниченко
Елена Городниченко
Украина, Киев