Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2755 / 436 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 15:

Паросочетания и свадьбы

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >
Аннотация: Паросочетания и свадьбы. Теорема Холла о свадьбах. Приложение теоремы Холла. Латинские квадраты.

Паросочетания и свадьбы

Результаты этой главы носят более комбинаторный характер, чем результаты всех предыдущих глав, хотя они тесно связаны с теорией графов. Обсудим хорошо известную "теорему о свадьбах", принадлежащую Филиппу Холлу, и некоторые приложения этой теоремы, например, построение латинских квадратов.

Теорема Холла о свадьбах

Теорема о свадьбах, доказанная Филиппом Холлом в 1935 г., отвечает на следующий вопрос, известный под названием задачи о свадьбах: рассмотрим некоторое конечное множество юношей, каждый из которых знаком с несколькими девушками; спрашивается, при каких условиях можно женить юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке? (Будем считать, что полигамия не разрешена.) Например, если имеется четверо юношей \{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\} и пять девушек \{g_{1},g_{2},g_{3},
g_{4},g_{5}\}, а отношения знакомства между ними показаны в таблице 1, то возможно следующее решение: b_{1} женится на g_{4}, b_{2} — на g_{1}, b_{3}g_{3}, а b_{4} — на g_{2}.

Таблица 15.1.
Юноша Девушки, с которыми знаком юноша
b_1 g_1 g_4 g_5
b_2 g_1
b_3 g_2 g_3 g_4
b_4 g_2 g_4

Эту задачу можно представить графически, взяв двудольный граф G с множеством вершин, разделенных на два непересекающихся подмножества V_{1},V_{2}, представляющих юношей и девушек, соответственно, и соединив ребром каждого юношу со знакомой ему девушкой.


Рис. 15.1.

Напомним определение двудольного графа. Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества V_{1} и V_{2} так, что каждое ребро в G соединяет какую-нибудь вершину из V_{1} с какой-либо вершиной из V_{2}, тогда G называем двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G(V_{1},V_{2}), если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем, красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой — синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V_{1} соединена с каждой вершиной из V_{2} ; если же это так и если при этом граф G, простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается K_{m,n}, где m,n — число вершин, соответственно, в V_{1} и V_{2}.

Совершенным паросочетанием из V_{1} в V_{2} в двудольном графе G(V_{1},V_{2}) называется взаимно однозначное соответствие между вершинами из V_{1} и подмножеством вершин из V_{2}, обладающее тем свойством, что соответствующие вершины соединены ребром. Ясно, что задачу о свадьбах можно выразить в терминах теории графов следующим образом: если G=G(V_{1,V_{2})двудольный граф, то при каких условиях в G существует совершенное паросочетание из V_{1} в V_{2}?

Используя прежнюю "матримониальную" терминологию, можно сформулировать следующее очевидное утверждение: необходимое условие для существования решения в задаче о свадьбах в том, что любые k юношей из данного множества должны быть знакомы (в совокупности ), по меньшей мере, с k девушками (для всех целых k, удовлетворяющих неравенствам 1\le k\le m, где через m обозначено общее число юношей). Необходимость этого условия сразу вытекает из того, что если оно не верно для какого-нибудь множества юношей, то мы не сможем женить требуемым способом даже этих k юношей, не говоря уже об остальных.

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов