Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Опубликован: 30.03.2005 | Доступ: свободный | Студентов: 6884 / 1896 | Оценка: 4.17 / 4.05 | Длительность: 09:46:00
ISBN: 978-5-9556-0040-6
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 6:

Арифметические основы

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Аннотация: В лекции описаны системы счисления, представлена методика выбора системы счисления, даны правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

В данном разделе курса рассматриваются способы представления чисел в ЭВМ, методы выполнения арифметических операций, которые отличны от методов, получивших широкое распространение на практике.

Как известно, еще в 19 веке производство операций над числами, содержащими много разрядов, представлялось сложной задачей, решить которую могли только профессионалы. В это время были уже разработаны основные правила выполнения операций над многозначными числами узбекским математиком Аль-Хорезми. Общие закономерности, по которым строились эти правила, впоследствии получили название АЛГОРИТМА. Они настолько широко вошли в жизнь, что, производя эти операции над многозначными числами, мы не задумываемся над тем, что выполняем строгую систему правил.

Система счисления.

Способ представления изображения произвольных чисел с помощью некоторого конечного множества символов назовем системой счисления .

В повседневной практике мы пользуемся, как правило, десятичной системой счисления. Ответ на вопрос: " Почему именно эта система счета получила наибольшее распространение? " - сейчас дать затруднительно. В литературе, как правило, в качестве обоснования приводится тот факт, что на руках человека - в сумме 10 пальцев. Вряд ли это обоснование можно принимать всерьез. На практике мы сталкиваемся и с более сложными, в частности, со смешанными системами. Например, система счета времени, где за единицу принята секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год. Или система счета денег, до недавнего времени применявшаяся в Англии (пенс, шиллинг, фунт):

12п = 1ш, 20ш = 1ф.

Или еще более интересная - римская система счета, которая использует символы: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000.

Эта система является особой и применяется редко (циферблат, архитектура, история и т.д.)

Системы счисления принято делить на:

  • Позиционные.
  • Непозиционные.
  • Символические.

Начнем с последних. В этих системах каждому числу ставится в соответствие свой символ. Эти системы не находят широкого применения в силу естественной их ограниченности (алхимия, кодированные сообщения) -бесчисленного множества символов, которое требуется для изображения всех возможных чисел. Поэтому эти системы из рассмотрения опустим.

Позиционные системы счисления.

Само название этих систем указывает на связь значимости числа и его изображения от позиции.

Позиция - некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

В этой системе число представляется в виде полинома " n " степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает.

a4a3a2a1 - число; a1, a2, a3, a4 - символы.

Всем позициям приписывается различный вес, который чаще всего выбирается как целая степень основания системы.

Основание системы счисления - число, которое является мощностью множества различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Так для десятичной системы допускаемыми являются символы: 0, 1, 2, 3,..., 9.

Обозначим через " p " основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены так:

... p3 p2 p1 p0.

Само число, изображение которого имеет вид, например, a3a2a1a0 может быть представлено так:

a0p0 + a1p1 + a2p2 + a3p3 - это развернутая запись числа в позиционной системе.

Например:

97310 = 3*100 + 7*101 + 9*102 = 3 + 70 + 900.

В отличие от системы счета времени, десятичная система является однородной, т.е. одних и тех же десятичных символов достаточно, чтобы изобразить любое число. В то время как в смешанных системах нужно придумывать все новые и новые символы для того, чтобы изобразить следующее по величине число.

Таким образом, однородность - одно из важных свойств позиционных систем.

Любое число X в позиционной системе счисления можно представить в виде:

X = \pm p^{m} \Sigma_{i-1}^n  a_{i}p^{-i},

где

m - число позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа.

n - общее число разрядов в числе.

ai - любой допустимый символ в разряде, т.е. ai = {0, 1, 2,..., p-1}.

p - основание системы счисления.

Например:

- 961,13 = - (9*102 + 6*101 + 1*100 + 1*10-1 + 3*10-2).
  1. Заметим, что число, равное основанию системы счисления, т.е. " p ", в самой системе с основанием " p " записывается только в двух позициях ( разрядах ), а именно так:
    pp = 10p
  2. Заметим также, что разделение числа на две части - дробную и целую - имеет смысл лишь в позиционных системах.
  3. Заметим, что основание системы для представления числа мы можем выбрать произвольное. Такой же произвол мы можем допустить и в назначении весов разрядов. Однако наиболее целесообразно считать его, как и в десятичной системе, естественным, т.е. ввести в качестве степеней основания числа натурального ряда:
    ... +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 ...
< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Людмила Долгих
Людмила Долгих

Здравствуйте. В первой лекции курса "Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМу вас приведена классическая структурная схема ЭВМ. Если можно уточните, а как в классической архитектуре могла реализоваться прямая работа устройств ввода-вывода с оперативной памятью?  Если я правильно понимаю - это режим прямого доступа к памяти, в классической архитектуре он не предусмотрен.

Анастасия Зыкина
Анастасия Зыкина

Примерно в апреле этого года в разделе "Зачетка" проходила курсы "Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ", со спокойной душой отправилась на сессию и оказалось, что результатов не нашли! Как такое возможно? Можно ли найти результаты. Конечный экзамен был сдан на "4"!