Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Опубликован: 30.03.2005 | Доступ: свободный | Студентов: 6855 / 1886 | Оценка: 4.17 / 4.05 | Длительность: 09:46:00
ISBN: 978-5-9556-0040-6
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 2:

Логические основы

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Конъюнкция

Возьмем 2 высказывания:

А=<Москва – столица РФ>
В=<дважды два - четыре>

тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение ' 1 ', а ложному - ' 0 ', то сложное высказывание можно назвать произведением.

X1 X2 f1(X1,X2)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.


Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

X1 X2 f1(X1,X2)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Читается X1 ИЛИ X2: Некоторое отличие от смысла союза "или", принятого в русском языке: в данном случае этот союз употребляется в смысле объединения, а не разъединения.


Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

А=<дважды два - пять>
B=<один плюс два - шесть>
А~В равнозначны.
Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X1 – истинно, а X2 – ложно.

X1 X2 f1(X1,X2)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Читается: если X1, то X2. При этом X1 – посылка, X2 – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным:

<если Киев – столица Франции>,
то <2-квадрат 3>.
Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х \vee  х \vee  х \vee  х \vee  \dots  \vee   х \vee  х \vee   х= х ,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

x v x   = 1
1 \vee  x = 1

– постоянно истинное высказывание.

0 \vee  x = x

x_{1} \vee  x_{2} = x_{2} \vee  x_{1}

- (переместительный) коммуникативный закон.

x_{1} \vee  х_{2} \vee  х_{3} = (x_{1} \vee   х_{2}) \vee   х_{3} = x_{1} \vee  (х_{2} \vee  х_{3})

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х \wedge  х \wedge  х \wedge  х\dots  \wedge  х \wedge  х \wedge  х= х

правило приведения подобных членов:

1 \wedge  x = х

0 \wedge  x = 0 - постоянно ложное высказывание

x \wedge   \overline x = 0 - постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2
1 \oplus   х = \overline x
\\
0 \oplus   x = x
\\
x \oplus   \overline x = 1

x \oplus  x \oplus  x \oplus \dots \oplus  x =  х – при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

\overline x_{1} \vee  \overline  x_{2} \vee  \dots  \vee  \overline  x_{n} = \overline {x_{1} & x_{2}&   \dots  &  x_{n}}

\overline  {x_{1} \vee  x_{2} \vee  \dots  \vee  x_{n}} = \overline x_{1} & \overline x_{2} & \dots  & \overline x_{n}

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1 Х2 \overline Х_{1}  \vee  \overline  Х_{2} X1 & X2
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0

Операция поглощения:

Х \vee  XY = X или в общем виде X \vee  X \cdot f(X,Y,Z\dots ) = X;

Операция полного склеивания:

XY \vee  X \overline Y = X (по Y)
\\
XY \vee  \overline X Y = Y (по Х)

Операция неполного склеивания:

XY \vee  X \overline Y = Х \vee  XY \vee  X \overline Y
< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Людмила Долгих
Людмила Долгих

Здравствуйте. В первой лекции курса "Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМу вас приведена классическая структурная схема ЭВМ. Если можно уточните, а как в классической архитектуре могла реализоваться прямая работа устройств ввода-вывода с оперативной памятью?  Если я правильно понимаю - это режим прямого доступа к памяти, в классической архитектуре он не предусмотрен.

Анастасия Зыкина
Анастасия Зыкина

Примерно в апреле этого года в разделе "Зачетка" проходила курсы "Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ", со спокойной душой отправилась на сессию и оказалось, что результатов не нашли! Как такое возможно? Можно ли найти результаты. Конечный экзамен был сдан на "4"!

евгений митюков
евгений митюков
Россия, г. Москва
Александр Воложанинов
Александр Воложанинов
Россия