Опубликован: 16.12.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 2360 / 345 | Оценка: 4.26 / 4.23 | Длительность: 33:53:00
Специальности: Руководитель, Экономист
Дополнительный материал 2:

Нечеткие и случайные множества

В "Статистика нечисловых данных" рассматривались такие виды объектов нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества. Цель настоящего приложения - глубже изучить свойства нечетких множеств и показать, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. Для достижения поставленной цели формулируется и доказывается цепь теорем.

В дальнейшем считается, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

П2-1. Законы де Моргана для нечетких множеств

Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B,\\
\overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B ( 1)

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B\\
\overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B ( 2)
\overline{A + B}= \bar A \bar B,\\
\overline{A B}= \bar A + \bar B ( 3)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (2) и (3) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных в "Статистика нечисловых данных" .

Тождества (2) и (3) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (1), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (1) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

П2-2. Дистрибутивный закон для нечетких множеств

Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, A+A \ne A за исключением случая, когда A - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C) ( 4)

В то же время равенство

A(B+C)=AB+AC ( 5)

справедливо тогда и только тогда, когда при всех y \in Y

(\mu_A^2(y)- \mu_A(y)) \mu_B(y) \mu_C(y)=0

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y \in Y. Для сокращения записи обозначим a= \mu_A(y), b= \mu_B(y), c=\mu_C(y). Для доказательства тождества (4) необходимо показать, что

\min (a,\max(b,c))= \max( \min(a,b), \min(a,c)) ( 6)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала a \le b \le c Тогда левая часть соотношения (6) есть \min(a,c)=a а правая \max(a,a)=a т.е. равенство (6) справедливо.

Пусть b \le c \le a Тогда в соотношении (6) слева стоит \min(a,c)=a а справа \max(b,a)=a т.е. соотношение (6) опять является равенством.

Если b \le c \le a то в соотношении (6) слева стоит \min(a,c)=c а справа \max(b,c)=c т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (4) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами (см. "Статистика нечисловых данных" )

\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac_abc

и

\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда a^2bc=abc что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества A называется совокупность всех точек e \in Y, для которых \mu_A(y)>0

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (5) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию \mu_B(y) \mu_C(y) \ne 0 при всех y \in Y. Тогда из теоремы 2 следует, что \mu_A^2(y)- \mu_A(y)=0 т.е. \mu_A(y)=1 или \mu_A(y)=0, что и означает, что A - четкое множество.

П2-3. Нечеткие множества как проекции случайных множеств

С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S \ne 0 ), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согла совать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности A \bigcap B, A \bigcup B, A+B, AB? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.

В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [1],[2]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима" (см. его монографию [3, с.21-22]).

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы R^2 - см., например, монографию [4]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.

Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.

Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1974 г. в работе [5] было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 2. Пусть A=A(\omega) - случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается \Proj A, если

\mu_B(y)=P(y \in A) ( 7)

при всех y \in Y

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (7) нечеткое множество В = \Proj A. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = \Proj A .

Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А. Пусть У_1 - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что Y_1=\{y_1, y_2, \dots, y_m\} при некотором m и элементы У_1 занумерованы в таком порядке, что

0< \mu_B(y_1) \le \mu_B(y_2) \le \dots, \le \mu_B(y_m)

Введем множества

Y(1)=Y_1, Y(2)=\{y_2, \dots, y_m\}, \dots, Y(t)=\{y_y, \dots, y_m\}. \dots, Y(m)=\{y_m\}

Положим

P(A=Y(1))= \mu_B(y_1), P(A=Y(2))= \mu_B(y_2)- \mu_B(y_1), \dots,\\
P(A=Y(t))= \mu_B(y_t)- \mu_B(y_{t-1}), \dots, P(A=Y(m))= \mu_B(y_m)- \mu_B(y_{m-1}),\\
P(A= \oslash)=1- \mu_B(y_m)

Для всех остальных подмножеств Х множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент y_t входит во множества Y(1), Y(2), \dots, Y(t) и не входит во множества Y(t+1), \dots, Y(m) , то из приведенных выше формул следует, что p(y_t \in A)= \mu_B(y_t) Если y \notin Y_1 то, очевидно, p(y \in A)=0 Теорема 3 доказана.

Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений "Статистика нечисловых данных" , полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.

Теорема 4. Для случайного подмножества А множества У из конечного числа элементов наборы чисел P(A=X), X \subseteq Y и P(X \subseteq A) X \subseteq Y выражаются один через другой.

Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:

P(X \subseteq A)= \sum_{X':X \subseteq X'} P(A=X')

Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой P(A=X)=P(X \subseteq A)- \sum P(X \bigcup \{y\} \subseteq A)+ \sum P(X \bigcup \{y_1, y_2\} \subseteq A)- \dots \pm P(Y \subseteq A) В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй сумме переменные суммирования у_1 и у_2 не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4.

В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел P(X \subseteq A), X \subseteq Y. В этом наборе P( \oslash \subseteq A)=1 а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа P(\{y\} \subseteq A)=P(y \in A) следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = Card(Y) параметров из (2^k-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае.

Будет полезна следующая теорема.

Теорема 5. Если Proj A = B, то Proj \bar A=\bar B

Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств p(\bar A =X)=P(A= \bar X) формулой для вероятности накрытия P(y \in A) из "Статистика нечисловых данных" , определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех P(A=X) равна 1.

Денис Малахоuв
Денис Малахоuв

Как мне получить корочку по программе Менеджмент предприятия. сначало я его пройду, потом надо оплатить, а потом он придет?

Владимир Крюков
Владимир Крюков
Казахстан