Статистика интервальных данных

12.8. Место статистики интервальных данных (СИД) в прикладной статистике

Кратко рассмотрим положение статистики интервальных данных среди других методов описания неопределенностей и анализа данных.

Нечеткость и СИД. С формальной точки зрения описание нечеткости интервалом - это частный случай описания ее нечетким множеством. В СИД функция принадлежности нечеткого множества имеет специфический вид - она равна 1 в некотором интервале и 0 вне него. Такая функция принадлежности описывается всего двумя параметрами (границами интервала). Эта простота описания делает математический аппарат СИД гораздо более прозрачным, чем аппарат теории нечеткости в общем случае. Это, в свою очередь, позволяет продвинуться дальше, чем при использовании функций принадлежности произвольного вида.

Интервальная математика и СИД. Можно было бы сказать, что СИД - часть интервальной математики, что СИД так соотносится с прикладной математической статистикой, как интервальная математика - с математикой в целом. Однако исторически сложилось так, что интервальная математика занимается прежде всего вычислительным погрешностями. С точки зрения интервальной математики две формулы для выборочной дисперсии, рассмотренные выше, имеют разные погрешности. А с точки зрения СИД эти две формулы задают одну и ту же функцию, и поэтому им соответствуют совпадающие нотны и рациональные объемы выборок. Интервальная математика прослеживает процесс вычислений, СИД этим не занимается. Необходимо отметить, что типовые постановки СИД могут быть перенесены в другие области математики, и, наоборот, вычислительные алгоритмы прикладной математической статистики и СИД заслуживают изучения. Однако и то, и другое - скорее дело будущего. Из уже сделанного отметим применение методов СИД при анализе такой характеристики финансовых потоков, как NPV - чистая текущая стоимость [ [ 12.38 ] ].

Математическая статистика и СИД. Как уже отмечалось, математическая статистика и СИД отличаются тем, в каком порядке делаются предельные переходы и . При этом СИД переходит в математическую статистику при . Правда, тогда исчезают основные особенности СИД: нотна становится равной 0, а рациональный объем выборки - бесконечности. Рассмотренные выше методы СИД разработаны в предположении, что погрешности малы (но не исчезают) и объем выборки велик. СИД расширяет классическую математическую статистику тем, что в исходных статистических данных каждое число заменяет интервалом. С другой стороны, можно считать СИД новым этапом развития математической статистики.

Статистика объектов нечисловой природы и СИД. Статистика объектов нечисловой природы (СОНП) расширяет область применения классической математической статистики путем включения в нее новых видов статистических данных [ [ 12.38 ] ]. Естественно, при этом появляются новые виды алгоритмов анализа статистических данных и новый математический аппарат (в частности, происходит переход от методов суммирования к методам оптимизации). С точки зрения СОНП частному виду новых статистических данных - интервальным данным - соответствует СИД. Напомним, что одно из двух основных понятий СИД - нотна - определяется как решение оптимизационной задачи. Однако СИД, изучая классические методы прикладной статистики применительно к интервальным данным, по математическому аппарату ближе к классике, чем другие части СОНП, например, статистика бинарных отношений.

Робастные методы статистики и СИД. Если понимать робастность согласно [23] как теорию устойчивости статистических методов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели, то в СИД рассматривается одна из естественных постановок робастности. Однако в массовом сознании специалистов термин "робастность" закрепился за моделью засорения выборки большими выбросами (модель Тьюки-Хубера), хотя эта модель не имеет большого практического значения [ [ 12.38 ] ]. К этой модели СИД не имеет отношения.

Теория устойчивости и СИД. Общей схеме устойчивости [ [ 1.15 ] ] математических моделей социально-экономических явлений и процессов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей СИД полностью соответствует. Она посвящена математико-статистическим моделям, используемым при анализе статистических данных, а допустимые отклонения - это интервалы, заданные ограничениями на погрешности. СИД можно рассматривать как пример теории, в которой учет устойчивости позволил сделать нетривиальные выводы. Отметим, что с точки зрения общей схемы устойчивости [ [ 1.15 ] ] устойчивость по Ляпунову в теории дифференциальных уравнений - весьма частный случай, в котором из-за его конкретности удалось весьма далеко продвинуться.

Минимаксные методы, типовые отклонения и СИД. Постановки СИД относятся к минимаксным. За основу берется максимально возможное отклонение. Это - подход пессимиста, используемый, например, в теории антагонистических игр. Использование минимаксного подхода позволяет подозревать СИД в завышении роли погрешностей измерения. Однако примеры изучения вероятностно-статистических моделей погрешностей, проведенные, в частности, при разработке методов оценивания параметров гамма-распределения [ [ 12.12 ] ], показали, что это подозрение не подтверждается. Влияние погрешностей измерений по порядку такое же, только вместо максимально возможного отклонения (нотны) приходится рассматривать математическое ожидание соответствующего отклонения (см. выше). Подчеркнем, что применение в СИД вероятностно-статистических моделей погрешностей не менее перспективно, чем минимаксных.

Подход научной школы А.П. Вощинина и СИД. Если в математической статистике неопределенность только статистическая, то в научной школе А.П. Вощинина - только интервальная. Можно сказать, что СИД лежит между классической прикладной математической статистикой и областью исследований научной школы А.П. Вощинина. Другое отличие состоит в том, что в этой школе разрабатывают новые методы анализа интервальных данных, а в СИД в настоящее время изучается устойчивость классических статистических методов по отношению к малым погрешностям. Подход СИД оправдывается распространенностью этих методов, однако в дальнейшем следует переходить к разработке новых методов, специально предназначенных для анализа интервальных данных.

Анализ чувствительности и СИД. При анализе чувствительности, как и в СИД, рассчитывают производные по используемым переменным, или непосредственно находят изменения при отклонении переменной на +10% от базового значения. Однако этот анализ делают по каждой переменной отдельно. В СИД все переменные рассматриваются совместно, и находится максимально возможное отклонение (нотна). При малых погрешностях удается на основе главного члена разложения функции в многомерный ряд Тейлора получить удобную формулу для нотны. Можно сказать, что СИД - это многомерный анализ чувствительности.

Контрольные вопросы и задачи

1. Покажите на примерах, что в задачах принятия решений исходные данные часто имеют интервальный характер.
2. В чем особенности подхода статистики интервальных данных в задачах оценивания параметров?
3. В чем особенности подхода статистики интервальных данных в задачах проверки гипотез?
4. Какие новые нюансы проявляются в статистике интервальных данных при переходе к многомерным задачам?
5. Выполните операции над интервальными числами:

   вариант 1 - а)[1,2]+[3,4], б)[4,5]-[2,3], в)[3,4] [5,7], г)[10,20]:[4,5];

   вариант 2 - а)[0,2]+[3,5], б)[3,5]-[2,4], в)[2,4] [5,8], г)[15,25]:[1,5].
6. Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы t, предполагающейся малой) для функции
   
   Вычислите асимптотическую нотну в точке при .
7. Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы , предполагающейся малой) для функции
   
   Вычислите асимптотическую нотну в точке при .

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Классическая математическая статистика как предельный случай статистики интервальных данных.
2. Концепция рационального объема выборки.
3. Сравнение методов оценивания параметров и характеристик распределений в статистике интервальных данных и в классической математической статистике.
4. Подход к проверке гипотез в статистике интервальных данных.
5. Метод наименьших квадратов для интервальных данных.
6. Различные способы учета погрешностей исходных данных в статистических процедурах.
7. Статистика интервальных данных как часть теории устойчивости (с использованием монографии [ [ 1.15 ] ]).