Санкт-Петербургский государственный университет
Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 663 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00
Специальности: Программист
Лекция 3:

Регулярные позиномы

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

\begin{array}{lrl}
 2-3 x_{1}^{-2}+2 x_{1}&=&0, \\
  -4 x_{2}^{-3}+3-x_{2}^{-2}&=&0. 
  \end{array}

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является x_{1}^{*} = 0.89, следовательно,

\overline{G}_{1}=\min_{x_{1}>0} g_{1}(x_1) = g_{1}(0.89)= 5.94.

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является x_{2}^{*} = 1.20, следовательно,

\overline{G}_{2}=\min_{x_{2}>0} g_{2}(x_2) = g_{2}(1.20) = 5.82.

Верхняя оценка позинома равна

\overline{G} =\min_{j=\overline{1,2}}\overline{G_j} = \min\{5.94,\
   5.82\}=5.82.

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

5\le \min_{x>0}g(x)\le 5.82.

Заметим, что в данном примере верхняя оценка 5.82, достаточно близка к минимальному значению позинома, которое равно 5.74. Разность составляет

\frac{5.82-5.74}{5.74}= 1.39\%.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 26 Вычислим оценки позинома из примера 9 ( "Неравенство Коши и его обобщения" ):

g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} +
   3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.

Вычислим сначала нижнюю оценку позинома. Для этого представим второй моном 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} как сумму двух мономов:

6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} = 5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+0.6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}.

Теперь позином имеет вид:

g(x)= 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2}
  +5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+0.6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} +
  x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.

Возьмем S=[1, 2, 4 , 5]. Позином

g_s(x)= 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2}
  +5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} +
  x_{1}^{3}x_{2}x_{3}

является регулярным, так как для него выполнены следующие равенства:

\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 1} = 4-10.8+3.8+3=0,
\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 2} = 12-5.4-7.6+1=0.
\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 3} = -8+10.8-3.8+1=0.

Следовательно, его минимум вычисляется по формуле:

\underline{G}_s=\min_{x>0} g_s(x) = \sum\limits_{i\in
S}c_{i}=4+5.4+3.8+1=14.2.

Таким образом, получили нижнюю оценку для позинома \underline{G}= \underline{G}_s= 14.2.

Вычислим теперь верхнюю оценку минимума позинома. Позином состоит из трех компонент:

\begin{array}{rrl}
 g_{1}(x_1) &=& 4 x_{1}+6 x_{1}^{-2}+3.8 x_{1}+x_{1}^{3}, \\
g_{2}(x_2)&=&4 x_{2}^{3}+6 x_{2}^{-1}+3.8 x_{2}^{-2}+x_{2}, \\
g_{3}(x_3)&=&4 x_{3}^{-2}+6 x_{3}^{2}+3.8 x_{3}^{-1}+x_{3}, 
\end{array}

Вычислим минимумы компонент позинома. Для каждой компоненты запишем производную:

\begin{array}{rrl}
  g_{1}^{'}(x_1)& =&4-12 x_{1}^{-3}+3.8+3 x_{1}^{2}, \\
  g_{2}^{'}(x_2)&=&12 x_{2}^{2}-6 x_{2}^{-2}-7.6 x_{2}^{-3}+1, \\
  g_{3}^{'}(x_3)&=&-8 x_{3}^{-3}+12 x_{3}-3.8 x_{2}^{-2}+1. 
  \end{array}

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

\begin{array}{lrl}
4-12 x_{1}^{-3}+3.8+3 x_{1}^{2}&=&0, \\
 12 x_{2}^{2}-6 x_{2}^{-2}-7.6 x_{2}^{-3}+1&=&0, \\
-8 x_{3}^{-3}+12 x_{3}-3.8 x_{3}^{-2}+1&=&0. 
  \end{array}

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является x_{1}^{*} = 1.03, следовательно,

\overline{G}_{1}=\min_{x_{1}>0} g_{1}(x_1) = g_{1}( 1.03)= 14.78.

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является x_{2}^{*} = 1.01, следовательно,

\overline{G}_{2}=\min_{x_{2}>0} g_{2}(x_2) = g_{2}(1.01) = 14.80.

Для третьей компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является x_{3}^{*} = 0.97, следовательно,

\overline{G}_{3}=\min_{x_{3}>0} g_{3}(x_3) = g_{3}(0.97) = 14.78.

Верхняя оценка позинома равна

\overline{G} =\min_{j=\overline{1,3}}\overline{G_j} =
   \min\{14.78, 
   14.80,  14.78\}=14.78.

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

14.2\le \min_{x>0}g(x)\le 14.78.

Заметим, что в данном примере верхняя оценка 14.78 совпала с минимальным значением позинома.

Краткие итоги

Введено понятие регулярного позинома. Описаны свойства регулярных позиномов. Приведена теорема минимизации регулярных позиномов. Сформулирована главная теорема о позиномах. Описан процесс вычисления оценки минимума позинома.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Васильевич Иван
Васильевич Иван

Так это же динамическое программирование на основе математической индукции.