Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 11:

Принцип взаимосвязи

< Лекция 10 || Лекция 11: 123

Война на истощение

Теорема 11.1 позволила нам классифицировать многие известные нам аукционы. Но в ней заложено важное ограничение: мы потребовали, чтобы в аукционе что-то платил исключительно победитель. А в реальной жизни это далеко не всегда так: мы в разделе "Теорема об эквивалентности доходности" уже приводили пример с лоббированием и получающимся в результате аукционом, в котором платят все участники. Давайте начнем подбираться к нужному обобщению принципа взаимосвязи с конкретного примера, который имеет еще и биологическую мотивацию.

В качестве этого примера мы рассмотрим так называемую войну на истощение (war of attrition). Ее можно понимать следующим образом: агенты соперничают за ресурс ценностью V, просто оставаясь в игре и терпя со временем все большие и большие убытки. Как только все агенты, кроме одного, уйдут из игры, игра закончится, и оставшийся будет объявлен победителем. Эту модель начал рассматривать упоминавшийся уже Джон Майнард Смит [45], который применил теорию игр к биологии. Модель войны на истощение — это классическая модель войны между биологическими видами за тот или иной ресурс. Виды сражаются и терпят потери, пока один из них не отступится или не вымрет полностью, после чего второй получает искомый ресурс.

Войну на истощение можно рассматривать как игру, в которой все игроки делают ставки (ставку b надо понимать как "я буду держаться, пока не понесу убытки b "), после чего выигрывает тот, у кого ставка больше, но платит он при этом вторую сверху ставку. Получается интересная форма аукциона — аукцион второй цены, в котором платят все, но победитель — не свою ставку, а вторую сверху.

С точки зрения теории игр война на истощение — крайне интересный объект. Если не ограничивать сверху возможные ставки, у участников может возникнуть мотивация ставить больше, чем стоит объект (ведь платят они не свою ставку, а вторую). Но если этой мотивации поддадутся все игроки, то, конечно, даже победитель останется в минусе. У войны на истощение очень интересная эволюционно стабильная стратегия, суть которой такова: ставить настолько случайно, чтобы противник не смог никак предсказать последующие ставки. Мы, правда, не будем в это углубляться, а заинтересованному читателю порекомендуем [10,11,45,47].

А мы возьмемся за войну на истощение как за аукцион (как Кришна и Морган [36]). Такой вот all-pay second price auction, в котором доходы участников по вектору ставок \b определяются как

W_i=\begin{cases} V_i-\max_{j\neq i}b_j, & \text{если }b_i>\max_{j\neq i}b_j,\\ -b_j, & \text{если }b_i<\max_{j\neq i}b_j, \\ \frac{1}{\#\{k:b_k=b_i\}}x_i-b_i, & \text{если }b_i=\max_{j\neq i}b_j\end{cases}

(мы будем предполагать, что в случае равенства ресурс делится поровну).

Начнем, как водится, с того, что попытаемся вывести равновесную стратегию, а затем уже докажем, что она равновесная. Предположим, что игроки следуют симметричной равновесной стратегии \beta, и игрок 1 получает сигнал x и ставит \beta(z). Тогда его ожидаемый доход равен

W_i(z, x) = \int_{-\infty}^z\left(\mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1\mid X_1=x, Y_1=y\right] - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \\ - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z) = \\ = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z).

Теперь максимизируем W_i(z,x) по z. Это даст нам условие

\frac{\partial W_i}{\partial z} = \left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(z|x)\right)\beta^\prime(z) + g(z|x)\beta(z)= \\ = v(x,z)g(z|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(z|x)\right)\beta^\prime(z) = 0.

В симметричном равновесии z=x, и поэтому в равновесии условие превращается в

v(x,x)g(x|x) - \left(\vphantom{1^2}1-G(x|x)\right)\beta^\prime(x) = 0, \\ \beta^\prime(x) = \frac{v(x,x)g(x|x)}{1-G(x|x)},

и, наконец,

\beta(x) = \int_{-\infty}^x\frac{v(y,y)g(y|y)}{1-G(y|y)}dy = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy,

если вспомнить определение доли риска \lambda.

Итак, мы получили кандидата на равновесную стратегию. Осталось только доказать, что это действительно она. Это будет верно не всегда, а при дополнительном условии.

Теорема 11.2. Предположим, что для всех y функция

\phi(\cdot, y) = v(\cdot, y)\lambda_G(\cdot | x)

возрастает. Тогда стратегия

\beta(x) = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy

является симметричной равновесной стратегией для войны на истощение.

Доказательство. Доказательство будет очень похоже на кучу доказательств, которые мы уже видели. Здесь мы его еще проведем, а в 11.5 уже не будем. Итак, мы хотим доказать, что функция W(z,x) максимизируется при z=x. Как мы уже знаем,

W(z,x) = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(y)\right)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z).

Давайте возьмем вторую часть интеграла по частям:

W(z,x) = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^z\beta(y)g(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z)=\\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \left.\vphantom{1_2^2}\beta(y)G(y|x)\right|_{-\infty}^z + \\ + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \left(\vphantom{1^2}1 - G(z|x)\right)\beta(z)=\\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \beta(z).

Но мы знаем, что

\beta^\prime(x) = v(x,x)\lambda_G(x|x).

Таким образом,

W(z,x) = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy + \int_{-\infty}^z\beta^\prime(y)G(y|x)dy - \beta(z) = \\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^z\left(v(y,y)\lambda_G(y|y)-v(x,x)\lambda_G(y|y)G(y|x)\vphantom{1^2}\right)dy = \\ = \int_{-\infty}^zv(x,y)g(y|x)dy - \int_{-\infty}^zv(y,y)g(y|x)\lambda_G(y|y)\frac{1-G(y|x)}{g(y|x)}dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(v(x,y) - v(y,y)\lambda_G(y|y)\frac{1-G(y|x)}{g(y|x)}\right)g(y|x)dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(v(x,y) - v(y,y)\frac{\lambda_G(y|y)}{\lambda_G(y|x)}\right)g(y|x)dy = \\ = \int_{-\infty}^z\left(\vphantom{1^2}\phi(x,y) - \phi(y, y)\right)\lambda_G(y|x)g(y|x)dy.

Поскольку мы предположили, что \phi возрастает по первому аргументу, разность

\phi(x,y) - \phi(y, y)

больше нуля для всех x<y и меньше нуля для всех x>y. Таким образом, W(z,x) достигает максимума в точке z=x.

У нас получилась очень интересная стратегия. Во-первых, в нуле агент, играющий по этой стратегии, ставит ноль: мы считаем, что сигналы распределены на интервале [0,\omega] ; таким образом,

\beta(0)=\int_{-\infty}^0v(y,y)\lambda_G(y|y)dy=0,

потому что на отрицательных y функция \lambda_G(y|y) строго равна нулю; это не слишком замечательно. Но вот при росте x происходит интересный эффект.

Теорема 11.3. В предположениях теоремы 11.2 при росте значения сигнала x значения ставки в равновесной стратегии возрастают неограниченно:

\lim_{x\to\omega}\beta(x) = \infty.

Доказательство. Выберем такой z, для которого v(z,z)>0. Оценим снизу значение \beta(x):

\beta(x) = \int_{-\infty}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy = \\ = \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(y,y)\lambda_G(y|y)dy \ge \\ \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(z,y)\lambda_G(y|z)dy \ge \\ \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + \int_{z}^xv(z,z)\lambda_G(y|z)dy.

Здесь первое неравенство следует из того, что \phi(\cdot,y) возрастает, а второе — из того, что возрастает v(z,\cdot).

Заметим, что для всех y

\lambda_G(y|z) = -\frac{d}{dy}\left[\vphantom{1^2}\ln(1-G(y|z))\right],

и это значит, что

\int_{z}^x\lambda_G(y|z) = \ln\left(\vphantom{1^2}1-G(z|z)\right) - \ln\left(\vphantom{1^2}1-G(x|z)\right) = \ln\left(\frac{1-G(z|z)}{1-G(x|z)}\right).

Теперь подставим это выражение в оценку на \beta:

\beta(x) \ge \int_{-\infty}^zv(y,y)\lambda_G(y|y)dy + v(z,z)\ln\left(\frac{1-G(z|z)}{1-G(x|z)}\right).

Но при x\to\omega G(x|z) стремится к единице, а числитель дроби к нулю при этом отнюдь не стремится. Следовательно, \lim_{x\to\omega}\beta(x) = \infty.

Итак, мы подробно рассмотрели важный и интересный пример аукциона, в котором мало того что платят все, так еще и каждый рад ставить до бесконечности много, если сигнал его приближается к верхней границе (заметим, что при этом ценность лота отнюдь не стремится к бесконечности!).

В следующем параграфе мы разработаем общую технику, которая позволит нам справляться с такого рода аукционами. Это будет последний важный результат в нашем курсе.

< Лекция 10 || Лекция 11: 123
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига