Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 10:

Доходы аукционов с зависимыми ценностями

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >

Аукцион первой цены

Перейдем теперь к симметричной равновесной стратегии в аукционе первой цены. Сперва, как и ранее, выведем ее эвристически.

Обозначим через \beta искомую равновесную стратегию, а через G(\cdot|x) — распределение Y_1 при условии X_1=x (запомните это обозначение, мы к нему в дальнейшем еще не раз и не два вернемся). Плотность данного распределения будем обозначать, соответственно, как g(\cdot|x).

Тогда ожидаемый доход агента 1 при его собственном сигнале, равном x, и ставке \beta(x) составляет

\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y)-\beta(z)\right)g(y|x)dy = \int_0^zv(x,y)g(y|x)dy  - \beta(z)G(z|x).

Поскольку \beta должна быть оптимальной стратегией, получаем следующее дифференциальное уравнение:

\left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = 0.

А при симметричном равновесии z=x, и в итоге получается

\beta^\prime(x) = \left(\vphantom{1^2}v(x,x) - \beta(x)\right)\frac{g(x|x)}{G(x|x)}.

Кроме того, есть и начальное условие: \beta(0)=0.

Теорема 10.2. В аукционе первой цены симметричное равновесие достигается при использовании следующей стратегии:

\beta^I(x)=\int_0^xv(y,y)dL(y|x),

где

L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt}.

Доказательство. Во-первых, покажем, что L(\cdot|x) является функцией распределения на интервале [0,x]. По аффилированности, для всех t>0

\frac{g(t|t)}{G(t|t)}\ge\frac{g(t|0)}{G(t|0)}.

Таким образом,

-\int_0^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt \le -\int_0^x\frac{g(t|0)}{G(t|0)}dt =
-\int_0^x\der{d}t(\ln G(t|0))dt = \\ = \ln G(0|0) - \ln G(x|0) = -\infty.

Следовательно, L(0|x) = 0. Кроме того, L(x|x) = 1, и функция L(\cdot | x) является неубывающей.

Кроме того, из аффилированности сигналов следует, что

\forall x^\prime>x\quad L(\cdot|x^\prime) \le L(\cdot|x).

Так как v(y,y) возрастает как функция от y, то \beta=\beta^I также возрастает как функция от x.

Рассмотрим теперь агента, который делает ставку \beta(z) при скрытом сигнале x. Так как \beta возрастает,

\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(z)\right)g(y|x)dy.

Продифференцировав предыдущее выражение по z, получаем:

\frac{\partial \Pi}{\partial z} = \left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = \\ = G(z|x)\left(\vphantom{1^2}\left(v(x,z)-\beta(z)\right)\frac{g(z|x)}{G(z|x)} - \beta^\prime(z)\right).

Рассмотрим случай z<x. Так как v(x,z)>v(z,z) и сигналы аффилированы, то, следовательно:

\frac{g(z|x)}{G(z|x)} > \frac{g(z|z)}{G(z|z)},

а значит,

\frac{\partial \Pi}{\partial z} > G(z|x)\left((v(x,z)-\beta(z))\frac{g(z|z)}{G(z|z)} - \beta^\prime(z)\right) = 0.

А в случае, когда z>x, можно совершенно аналогичным способом показать (проведите это рассуждение самостоятельно), что \frac{\partial \Pi}{\partial z} < 0. Из этого следует, что функция \Pi(z,x) в точке z=x достигает максимума.

Полученный результат является обобщением предыдущих результатов. Так, при частных значениях v(y,y) = y, а при независимых сигналах G(\cdot|x) = G(\cdot), и, следовательно,

L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t)}{G(t)}}dt = \frac1{G(x)}G(y).

Пример 10.1. Рассмотрим случайные величины S_1,S_2,T, равномерные и независимые на интервале [0,1]. Пусть в аукционе участвуют два агента с неточными сигналами X_1 = S_1+T и X_2 = S_2 + T, а общая ценность лота вычисляется следующим образом: V = \frac12(X_1 + X_2).

Наличие T обеспечивает аффилированность сигналов X_1 и X_2. Так как участника всего два, то Y_1 = X_2.

Совместная плотность X_1 и Y_1 вычисляется отдельно на разных треугольных участках.

Путем несложных вычислений можно показать, что для всех x из интервала [0,2]

\frac{g(x|x)}{G(x|x)} = \frac{2}{x},

а для всех y\in[0,x]

L(y|x) = \frac{y^2}{x^2}.

Тогда теорема 10.2 утверждает, что оптимальная равновесная стратегия в данном случае имеет следующий вид:

\beta^I(x) = \int_0^xv(y,y)dL(y|x) = \frac23x,

так как v(x,y) = \frac12(x+y).

Конец примера 10.1.

Английский аукцион против аукциона второй цены

В этом и следующем разделах мы будем сравнивать доходность трех описанных типов аукционов в случае, когда агенты действуют в рамках симметричной равновесной стратегии. При наличии аффилированных сигналов и зависимых ценностей уже не действует принцип эквивалентности доходности. Далее будет показано, что английский аукцион превосходит по доходности аукцион второй цены, который, в свою очередь, превосходит аукцион первой цены.

Начнем со сравнения английского аукциона и аукциона второй цены.

Теорема 10.3. Ожидаемый доход от аукциона второй цены не превосходит ожидаемый доход от английского аукциона.

Доказательство. В аукционе второй цены равновесие достигается при использовании стратегии \beta^{II}(x) = v(x,x), где

v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1=x,Y_1=y\right].

Таким образом, если x>y, то

v(y,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(Y_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right].

Последнее неравенство следует из того, что u возрастает, а сигналы аффилированы.

Доход в данном случае вычисляется следующим образом:

\mathbf E\left[R^{II}\right] = \mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 > Y_1\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}v(Y_1,Y_1) | X_1 > Y_1\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right] | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1}) | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\beta^{\mathrm{Eng}2}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})\right] = \mathbf E\left[R^{\mathrm{Eng}}\right].

Здесь через \beta^{\mathrm{Eng}2} обозначена стратегия для английского аукциона в случае, когда в игре остаются всего два агента. Цена, на которой предпоследний агент в английском аукционе выходит из игры, — это и есть цена, которую заплатит победитель.

Замечание. Английский аукцион дает строго большую доходность, чем аукцион второй цены, только в том случае, когда одновременно присутствуют и зависимость значений, и аффилированность сигналов. Для независимых сигналов или индивидуальных значений эти два аукциона эквивалентны.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >