Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 9:

Аукционы с зависимыми ценностями

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

Симметричная модель

Как и в случае обычных аукционов с независимыми ценностями, далее мы будем рассматривать ситуацию, в которой все агенты находятся в симметричных условиях. В случае, когда у каждого агента была лишь своя, независимая индивидуальная ценность, симметричность означала, что все ценности, как случайные величины, берутся из одного и того же распределения.

В случае зависимых и аффилированных сигналов симметричность понимается двояко. С одной стороны, это симметричность функций ценностей агентов v_i, а с другой — симметричность распределения случайных сигналов.

Итак, мы будем полагать, что все X_i берутся из одного и того же интервала [0,\omega], и, кроме того, есть единая для всех агентов функция

v_i(\mathbf X) = u(X_i, \mathbf X_{-i}),

которая является симметричной относительно последних N-1 переменных, то есть не изменяющаяся при их перестановке:

\forall \pi\in S_{\{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,N\}}\\ v_i(X_i, X_1,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_N) = \\ = v_i(X_i, X_{\pi(1)},\ldots,X_{\pi(i-1)},X_{\pi(i+1)},\ldots,X_{\pi(N)}).

Также будем считать, что плотность совместной вероятности f, определенная на множестве [0,\omega]^N, также является симметричной функцией, и что сигналы X_1,\ldots,X_N аффилированы.

Определим одну важную функцию:

v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1 = x, Y_1 = y\right].

Она представляет собой математическое ожидание дохода игрока 1 при условии, что его скрытый сигнал x_1 = x является наивысшим, а наивысший среди всех остальных сигналов равен y. Поскольку модель симметрична, функция v одинакова для всех игроков. Как мы узнали в разделе 9.3, из аффилированности следует, что

\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x^\prime \right] \ge \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x\right].

Следовательно, v неубывает от своих переменных. Кроме того, так как u({\bf 0}) = 0, то v(0,0) = 0.

Равновесие в аукционе второй цены

В заключение этой лекции мы отыщем симметричное равновесие в модели аукциона второй цены. Это самый простой пример анализа аукционов с зависимыми ценностями; более сложные примеры будут в следующей лекции.

Теорема 9.1. В аукционе второй цены симметричное равновесие достигается при выборе следующей стратегии:

\beta^{II}(x) = v(x,x).

Доказательство. Пусть остальные агенты играют по cтратегии \beta = \beta^{II}. Вычислим математическое ожидание дохода агента 1 с сигналом x при условии, что он поставит b в качестве своей ставки. Для этого обозначим через g(\cdot|x) плотность Y_1=\max_{i\neq 1} X_i при условии X_1=x. Чтобы подсчитать ожидание дохода первого агента, нужно проинтегрировать его потенциальный доход v(x,y) - \beta(y) (здесь v(x,y) — ценность лота для игрока 1, а \beta(y) — вторая по величине ставка, то есть плата, которую в аукционе второй цены платит победитель) по всем таким случаям, когда ставка следующего игрока оказывается меньше b, то есть когда \beta(y) < b ; поскольку \beta — неубывающая функция, можно просто интегрировать по y от 0 до \beta^{-1}(b):

\Pi(b,x) = \int_0^{\beta^{-1}(b)}(v(x,y) - \beta(y))g(y|x)dy = \\
= \int_0^{\beta^{-1}(b)}(v(x,y) - v(y,y))g(y|x)dy.

Так как v возрастает по своему первому аргументу, то, следовательно,

\forall y>x\quad v(x,y) < v(y,y).

Таким образом, если y заберется за x, подынтегральное выражение станет отрицательным, и интеграл начнет уменьшаться. Следовательно, максимум ожидания дохода достигается при использовании \beta^{-1}(b) = x, или, что то же самое, при b = \beta(x).

Пример 9.2. Приведем конкретный пример анализа аукциона второй цены. Пусть в нем участвуют три игрока: \mathbf X = (X_1,X_2,X_3), и все X_i при условии сигнала V=v равномерно распределены на отрезке [0,2v] и независимы. Таким образом, v действительно оказывается средним значением ценностей X_i, и они зависят друг от друга исключительно посредством этого общего сигнала. Оставляем читателю удовольствие проверить, что эти случайные переменные действительно будут аффилированы.

Для этого примера крайне важной окажется случайная величина, равная максимуму ценностей всех трех агентов. Обозначим ее через

Z = \max\{X_1,X_2,X_3\},

а в каждой конкретной точке, соответственно, z = \max\{x_1,x_2,x_3\}.

Плотность распределения X_i при условии V=v равна \frac1{2v} на [0,2v]. Следовательно, совместное распределение (V,\mathbf X) будет равно \frac{1}{8v^3} на множестве \{(V,\mathbf X)|X_i\le 2V\}.

Заметим, что вся информация, которую мы можем узнать про V, зная значения X_i, — это то, что V\ge\frac12Z. Значит, совместная плотность \mathbf X равна

p(x_1,x_2,x_3) = \int_{\frac12z}^1\frac1{8v^3}dv = \frac{4-z^2}{16z^2},\text{ где }z = \max\{x_1,x_2,x_3\}.

Следовательно, p(V|\mathbf X = \mathbf x)=p(V|Z=z), и на интервале [\frac12z,1] имеем

p(v|Z=z) = \frac{p(v,z)}{p(z)} = \frac1{8v^3}\frac{16z^2}{4-z^2}.

Таким образом,

\mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|\mathbf X=\mathbf x\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|Z=z\right] = \int_{\frac12z}^1vf(v|\mathbf X=\mathbf x)dv = \frac{2z}{2+z}.

А это означает, что

v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|X_1=x, Y_1 = y\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V|Z = \max\{x,y\}\right] = \frac{2\max\{x,y\}}{2+\max\{x,y\}},

и, следовательно,

\beta^{II}(x) = v(x,x) = \frac{2x}{2+x}.

В итоге мы нехитрыми преобразованиями получили явное выражение для оптимальной стратегии поведения агентов в аукционе второй цены с ценностями, которые коррелируют таким вот прихотливым образом. Аналогичный анализ можно провести и в любом другом случае.

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига