Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 9:

Аукционы с зависимыми ценностями

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

Аффилированные сигналы

Итак, отныне мы отказываемся от предположения, что распределения X_i независимы, и будем считать, что они могут быть коррелированными. В таком случае появляется единая совместная плотность f(\mathbf X), неравная \prod_if_i(X_i). Конечно, работать с совсем уж произвольным распределением вероятностей нелегко, и многого о нем доказать не получится. Да и на практике предположение, которое мы сейчас сделаем, представляется в высшей степени разумным. Мы будем предполагать, что сигналы X_1, X_2, \ldots X_N аффилированы.

Определение 9.1. Случайные величины \mathbf X = (X_1,\ldots,X_N) называются аффилированными, если \forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime} :

p(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime})p(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge p(\mathbf x^\prime)p(\mathbf x^{\prime\prime}),

где

\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\max(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\max(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right),\\ \mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\min(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\min(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right).

Аффилированность — это усиленная форма положительной корреляции. По сути она означает, что если некоторая часть значений X_i велика, то остальные значения тоже, скорее всего, будут велики. Согласитесь, что для аукционов с месторождениями, да и вообще для типичной ситуации аукциона с зависимыми ценностями, это предположение выглядит разумным.

Рассмотрим еще одно сугубо математическое определение.

Определение 9.2. Функция f называется супермодулярной, если \forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime} :

f(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime}) + f(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge f(\mathbf x^\prime) + f(\mathbf x^{\prime\prime})

Из определений 9.1 и 9.2 мгновенно следует, что компоненты вектора случайных величин \mathbf X аффилированы тогда и только тогда, когда \ln p супермодулярна. Чтобы убедиться в этом, достаточно прологарифмировать равенство из определения аффилированной функции. Следующее предложение мы также оставим без доказательства — доказать его будет хорошим упражнением.

Предложение 9.1. Если f — гладкая функция, то f супермодулярна тогда и только тогда, когда

\forall\ i \ne j\quad \pdertwo{f}{x_i}{x_j} \ge 0.

Сейчас мы будем понемножку устанавливать математические факты о супермодулярных функциях и аффилированных случайных переменных, которые нам потребуются в дальнейшем. Поэтому нетерпеливый читатель может сейчас пропустить остаток этого раздела и возвращаться к нему по мере надобности, когда мы в последующем тексте будем на него ссылаться. Но для полноты картины все же рекомендуем читать по порядку.

Рассмотрим переменные Y_1,\ldots,Y_{N-1}, которые мы уже использовали в предыдущих лекциях. Напомним, что они представляют собой сигналы X_2,\ldots,X_N, упорядоченные в порядке убывания значений.

Совместная плотность g случайных величин X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1} легко выражается через совместную плотность вектора сигналов \mathbf X. Для этого достаточно заметить, что каждый вектор \byn N=(y_1,\ldots,y_{N-1}) соответствует (N-1)! различных векторов (x_2,\ldots,x_N): можно перемешать компоненты (y_1,\ldots,y_{N-1}) как угодно, а получаться все равно будет один и тот же упорядоченный вектор. Поэтому

g(x_1,y_1,\ldots,y_{N-1}) = \begin{cases} (n-1)!p(x_1,\byn N), & \text{когда }y_1\ge \ldots\ge y_{N-1}\ge 0,\\ 0, & \text{в противном случае.} \end{cases}

Значит, если переменные X_1,X_2,\ldots,X_N аффилированы, то аффилированными также будут и X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}.

Введем теперь новое определение.

Определение 9.3. Рассмотрим две случайные переменные — X и Y — с функциями распределения F и G и плотностями распределения f и g соответственно. Говорят, что:

  • F доминирует над G в терминах отношения правдоподобия (like-li-hood ratio), если функция отношения правдоподобия \frac{f(\cdot)}{g(\cdot)} возрастает, то есть

    \forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)};

  • F доминирует над G в терминах доли риска (hazard rate), если доля риска у F всегда выше, чем у G:

    \forall x\quad \frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)};

  • F доминирует над G в терминах обратной доли риска (reverse hazard rate), если обратная доля риска у F всегда выше, чем у G:

    \forall x\quad\frac{F(x)}{f(x)}\ge\frac{G(x)}{g(x)};

  • F стохастически доминирует над G, если

    \forall x\quad F(x)\ge G(x).

Предложение 9.2.

  1. Если F доминирует над G в терминах отношения правдоподобия, то F доминирует над G в терминах доли риска.
  2. Если F доминирует над G в терминах отношения правдоподобия, то F доминирует над G в терминах обратной доли риска.
  3. Если F доминирует над G в терминах доли риска, то F стохастически доминирует над G.

Доказательство.

  1. Доминирование в терминах отношения правдоподобия означает, что

    \forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}.

    Это эквивалентно тому, что

    \forall x<y\quad \frac{f(y)}{f(x)} \ge \frac{g(y)}{g(x)}.

    Проинтегрируем последнее выражение по y:

    \forall x\quad \int_x^\omega\frac{f(y)}{f(x)}dy\ge\int_x^\omega\frac{g(y)}{g(x)}dy,

    или, что то же самое,

    \frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)}.
  2. Как и в первом пункте,

    \forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}.

    Но теперь мы это перепишем слегка по-другому:

    \forall x<y\quad \frac{f(x)}{f(y)} \le \frac{g(x)}{g(y)}.

    Снова взяв интеграл, но на этот раз по x, получаем:

    \forall x\quad \int_0^y\frac{f(x)}{f(y)}dx\ge\int_0^y\frac{g(x)}{g(y)}dx,

    или, что то же самое,

    \frac{F(y)}{f(y)}\ge\frac{G(y)}{g(y)}.

  3. Как известно, функцию распределения F(x) можно переписать в терминах доли риска \lambda_F(x) = \frac{1-F(x)}{f(x)}:

    F(x) = 1 - e^{-\int_0^x\lambda_F(t)dt}

    (если вам это неизвестно, проверьте сами!). Из этого равенства очевидно, что если для всех x \lambda_F(x)\ge\lambda_G(x), то и для самих функций распределения F(x)\ge G(x) для всех значений x.

Рассмотрим теперь две переменные — X и Y — с совместной плотностью

f:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R

и, соответственно, функцией совместного распределения

F:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R.

Если X и Y аффилированы, то

\forall\ x^\prime\ge x, y^\prime\ge y\quad f(x^\prime, y)f(x, y^\prime) \le f(x, y)f(x^\prime, y^\prime).

Преобразуем это соотношение:

\frac{f(x, y^\prime)}{f(x, y)} \le \frac{f(x^\prime, y^\prime)}{f(x^\prime, y)} \\ \frac{f(y^\prime|x)f(x)}{f(y|x)f(x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)f(x^\prime)}{f(y|x^\prime)f(x^\prime)} \\ \frac{f(y^\prime|x)}{f(y|x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)}{f(y|x^\prime)}.

Последнее равенство означает, что функция отношения правдоподобия

\frac{f(\cdot | x^\prime)}{f(\cdot | x)}

возрастает для всех x^\prime\ge x, то есть F(\cdot | x^\prime) доминирует над F(\cdot | x) в терминах отношения правдоподобия для всех x^\prime\ge x. А значит, по предложению 9.2, F(\cdot | x^\prime) в таких случаях доминирует над F(\cdot | x) и в терминах доли риска, и в терминах обратной доли риска, и стохастически.

Из стохастического доминирования следует, что для всех y функция F(y | \cdot) является неубывающей (поскольку стохастическое доминирование означает, что F(y | x^\prime) \ge F(y | x) для любых x^\prime>x ). А это, в свою очередь, означает, что условное математическое ожидание \mathbf E[Y | X = x^\prime] тоже является неубывающим как функция от x. Отсюда, в частности, следует, что в таком случае величины X и Y положительно коррелируют (так мы доказали, что аффилированность — более сильное понятие, чем положительная корреляция). На самом же деле верно и более сильное утверждение: для всякой неубывающей функции \gamma условное ожидание

\mathbf E[\gamma(Y) | X = x ]

не убывает как функция от x (оставляем доказательство читателю в качестве упражнения).

Итак, вернемся теперь к нашим аукционам. Если сигналы агентов X_1,\ldots,X_N аффилированы, то, следовательно, X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1} также будут аффилированы.

Пусть X_1 и Y_1 аффилированы. Если G(\cdot | x) — это распределение Y_1, то при условии, что X_1=x и x^\prime>x, G(\cdot | x^\prime) доминирует над G(\cdot | x) в терминах обратной доли риска:

\frac{g(y|x^\prime)}{G(y|x^\prime)} \le \frac{g(y|x)}{G(y|x)}.

Более того, для всякой возрастающей функции \gamma, если x^\prime>x, то

\mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x^\prime \right] \ge \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\gamma(Y_1) | X_1 = x\right].

Вот такие следствия нам удалось извлечь из свойства аффилированности неточных сигналов агентов. В скором времени мы их применим.

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига