Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 8:

Теорема Робертса

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >

Второе доказательство

Второе доказательство использует другое условие монотонности и, естественно, пользуется при этом иным методом анализа. Мы должны также задействовать одно дополнительное условие [52].

Определение 8.5. Задим функцию социального выбора f : \mathbf V\to\mathbb \mathcal O. Будем говорить, что игрок i принимает решения, если для каждого \mathbf v_{-i} \in \mathbf V_{-i} и x \in \bA существует такая функция полезности v_i \in V_i, что f(v_i, \mathbf v_{-i}) = x.

Проще говоря, игрок i может вынудить выбор любой из альтернатив для любой комбинации типов других игроков (например задавая "достаточно высокое" значение). Мы уже отмечали, что в том случае, когда существуют только две возможные альтернативы, принцип большинства (выбирать альтернативу большинством голосов, где игрок i "подает голос" за x по сравнению с y, выбирая v_i(x) > v_i(y) ) реализуем, и при таком подходе нет ни одного игрока, принимающего решения. Однако для трех и более альтернатив, как мы уже знаем из предыдущего доказательства, каждая выполнимая функция социального выбора должна допускать существование как минимум одного принимающего решения игрока. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что такой игрок существует.

Мы снова доказываем теорему Робертса — теорему 8.1.

Теорема 8.2. Пусть |\mathcal O|\ge 3, и \mathbf V не ограничено. Тогда для каждой правдиво реализуемой функции социального выбора f существуют такие неотрицательные веса k_1,\ldots,k_N, не все равные нулю, и такие константы C_x, x\in\mathcal O, что для всех \mathbf v\in \mathbf V

f(\mathbf v) \in  argmax_{x\in\mathcal O}\left\{\sum_{i=1}^nk_iv_i(x) + C_x\right\}.

Далее мы без потери общности будем считать, что игрок 1 решающий.

Введем важное обозначение: будем писать

\mathbf v^\prime = \mathbf v + \epsilon  1_{i,x},

или, что то же самое,

\mathbf v^\prime = (v_i + \epsilon  1_{x}, \mathbf v_{-i}).

То есть через \mathbf v^\prime мы будем обозначать вектор, совпадающий с \mathbf v за исключением того, что компонента v_i(x) увеличена на \epsilon. А через e_j мы будем обозначать единичный вектор вдоль j -й оси.

Предыдущее доказательство занималось анализом свойств множеств P(x,y). Здесь мы будем рассматривать не множества, а числа, но числа, тоже достаточно хитро определенные. Следующее определение вводит основной объект нашего анализа [72,73].

Определение 8.6. Для каждых двух различных x, y \in \mathcal O и для каждого \mathbf v_{-i} \in \mathbf V_{-i} определим

\delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i}) = \inf\left\{\vphantom{1^2} v^\prime_i(x) - v^\prime_i(y)\,\mid\, v^\prime_i \in V_i\text{ и }f(v^\prime_i, \mathbf v_{-i}) = x \right\}.

По определению, если f(\mathbf v) = x, то v^\prime_i(x) - v^\prime_i(y) < \delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i}) для всех y \in \mathcal O. Иными словами, если зафиксировать \mathbf v_{-i}, то \delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i}) — это минимальное значение разницы между x и y всякий раз, когда f выбирает x.

Пример 8.1. Для аукциона Викри обозначим через o_i\in\mathcal O победу игрока i в аукционе. Тогда v_1(o_1) — это ставка, которую ставит агент 1, а v_1(o_j) для j\neq 1 равна нулю (полезность выигрыша любого другого агента для агента 1 равна нулю). Таким образом, в аукционе Викри \delta^i_{1, j}(\bf v_{-1}) для всякого j\neq 1 — это ставка, которую должен сделать агент 1 для того, чтобы выиграть аукцион.

Конец примера 8.1.

Теперь мы хотим исследовать структурные характеристики этого определения для случая неограниченной области и в конце концов показать, что \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) — это аффинная функция от разницы векторов (\bvn 1(x) - \bvn 1(y)). Отсюда и воспоследует свойство аффинной максимизации. Но сначала — немного более техническая лемма, которая установит, что сумма значений \delta по циклам небольшой длины равна нулю.

Лемма 8.9.

  1. Для любого \bf v_{-1} \in \bf V_{-1} и любых исходов x, y \in\mathcal O
    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) = 0.
  2. Для любого \bf v_{-1} \in \bf V_{-1} и любых исходов x, y, z \in \mathcal O
    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) = 0.

Доказательство. Сначала докажем, что для любого \bf v_{-1} \in \bf V_{-1} и любых исходов x, y \in O значение \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) определено (конечно), и

\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \ge 0.

Раз агент 1 принимает решения, то, значит, существует такая функция полезности v_{1} \in V_{1}, что f(v_1, \bf v_{-1}) = x. Тогда

\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) \le  v_1(x) - v_1(y) < \infty.

Однако, поскольку агент 1, опять же, принимает решения, существует и такая функция полезности v^{*}_1, что f(v^{*}_1, \bf v_{-1}) = y. Для каждого из тех v^\prime_1 \in V_1, для которых f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = x, мы по свойству W-MON знаем, что v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y). Следовательно,

\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) > - \infty.

Чтобы доказать, что \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) неотрицательно, зафиксируем произвольное \epsilon > 0 и рассмотрим такую v^{*}_1 \in V_1, что

f(v^{*}_1, \bf v_{-1}) = y\text{ и }v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) \le \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon,

а также такую v^\prime_1 \in V_1, что

f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = x\text{ и }v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \le \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon.

По свойству W-MON мы имеем v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y). Тогда, значит,

\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon \ge v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) \ge - \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) - \epsilon.

Следовательно, для любого \epsilon > 0

\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) + 2 \epsilon \ge 0,

откуда и следует искомое неравенство.

Теперь можно доказать собственно утверждения леммы.

  1. Достаточно показать, что \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \le 0. Для каждых таких \epsilon \ge 0 и v_1, что f(v_1, \bf v_{-1}) = x и v_1(x) - v_1(y) = \epsilon + \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}), рассмотрим

    v^\prime_1 = v_1 + 3\epsilon \cdot 1_y + \epsilon \cdot 1_x.

    Тогда f(v^\prime_1,\bf v_{-1}) \in {x,y} по свойству W-MON. Однако f(v^\prime_1,\bf v_{-1}) не может быть равно x, так как

    v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) = (v_1(x) + \epsilon) - (v_1(y) + 3\epsilon) < \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}).

    Мы получили, что f(v^\prime_1,\bf v_{-1}) = y. Но тогда

    \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \le v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) + 2 \epsilon = - 
\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \epsilon,

    и, таким образом, \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) \le \epsilon для каждого \epsilon \ge 0.

  2. Зафиксируем \bf v_{-1}. Рассмотрим такие v_1, v^\prime_1, v^{\prime\prime}_1, что

    f(v_1, \bf v_{-1}) = x,\quad f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = y,\quad f(v^{\prime\prime}_1, \bvn 1) = z

    (они существуют, потому что агент 1 принимает решения). По правдивости,

    v_1(x) - p_1(x, \bf v_{-1}) &\ge& v_1(y) - p_1(y, \bf v_{-1}), \\ v^\prime_1(y) - p_1(y, \bf v_{-1}) &\ge& v^\prime_1(z) - p_1(z, \bf v_{-1}), \\ v^{\prime\prime}_1(z) - p_1(z, \bf v_{-1}) &\ge& v^{\prime\prime}_1(x) - p_1(x, \bf v_{-1}).

    (обратите внимание — опять вдруг откуда ни возьмись появляется парадокс Кондорсе!). Отсюда следует, что

    v_1(x) - v_1(y) + v^\prime_1(y) - v^\prime_1(z) + v^{\prime\prime}_1(z) - v^{\prime\prime}_1(x) \ge 0.

    В частности,

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf 
v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) \ge 0.

    Теперь предположим, что существуют такая функция полезности \bvn 1 и такие исходы x, y, z, что

    \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) > 0.

    По первому пункту этой леммы,

    [\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1})] + [\delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zy}(\bf v_{-1})] + [\delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{xz}(\bf v_{-1})] = 0.

    Таким образом,

    \delta^{1}_{xz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) < 0,

    что приводит нас к противоречию.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига