Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 6:

Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Теорема Гиббарда-Саттертуэйта

В предыдущих лекциях мы уже рассмотрели примеры, в которых были получены правдивые механизмы, успешно реализующие социальную функцию в доминантных стратегиях. Иначе говоря, счастье иногда есть — в некоторых случаях можно построить такой аукцион, в котором агентам вообще не надо ни о чем думать, а результат получается правильный.

Однако теорема Эрроу заставляет задуматься, всегда ли это возможно. К сожалению, ответ совсем не положительный: возможно это далеко не всегда. Теперь мы рассмотрим один из самых больших подвохов всей теории экономических механизмов.

Оказывается, что все-таки не любые механизмы существуют. Сейчас мы сформулируем определение довольно узкого и "нечестного" класса функций социального выбора — так называемых диктаторских функций, которые выгодны ровно одному конкретному участнику (полный аналог диктаторских функций в теореме Эрроу). А потом, как и в теореме Эрроу, докажем, что никаких других реализовать в доминантных стратегиях нельзя.

Этот результат — одна из классических теорем теории экономических механизмов. Она была независимо доказана Аланом Гиббардом и Марком Саттертуэйтом и в их честь и называется [22,74].

Теорема Гиббарда-Саттертуэйта крайне похожа на теорему Эрроу. Она, собственно, из теоремы Эрроу будет следовать (а есть и примеры единого доказательства этих двух результатов [68]). Мы начнем с формулировки того, кто же такие диктаторы в контексте теории экономических механизмов.

Определение 6.7. Функция социального выбора f называется диктаторской, если существует такой агент i, что для всех возможных векторов типов агентов \mathbf\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_N)\in\mathbf\Theta

f(\mathbf\theta)\in\left\{\vphantom{1^2_3}x\in\mathcal O\mid u_i(x,\theta_i)\ge u_i(y,\theta_i)\text{ для всех }y\in\mathcal O\right\}.

Проще говоря, функция социального выбора всегда выбирает один из вариантов, оптимальных для i -го агента.

Вспомним теперь определение 3.9: множеством нижнего контура возможного исхода x при агенте i типа \theta_i называется множество

L_i(x,\theta_i)=\left\{\vphantom{1^2}x^\prime\in\mathcal O:u_i(x,\theta_i)\ge u_i(x^\prime,\theta_i)\right\}.

Это определение позволит нам сформулировать понятие монотонной функции социального выбора.

Определение 6.7. Функция социального выбора f называется монотонной, если для каждого \mathbf\theta\in\mathbf\Theta и каждого другого \mathbf\theta^\prime\in\mathbf\Theta из того, что для всех i

L_i\left(\vphantom{1^2}f(\mathbf\theta),\theta_i\right)\subseteq L_i\left(\vphantom{1^2}f(\mathbf\theta),\theta^\prime_i\right),

следует, что f(\mathbf\theta)=f(\mathbf\theta^\prime).

То есть если f(\mathbf\theta)=x, и при переходе к \mathbf\theta^\prime ни у одного агента ни один исход, который раньше был хуже x, не стал строго лучше x, то x должен остаться его социальным выбором.

Кроме того, важным для нас понятием будут порядки на возможных исходах \mathcal O, которые для каждого агента задают, что именно ему больше нравится (это те самые порядки предпочтений, которые играли главную роль в доказательствах теоремы Эрроу). Нам не так важно, сколько именно агент получит (конкретное значение u_i ). Важно то, что он исход o_1 ценит выше, чем o_2, но ниже, чем o_3. Обозначим через \mathcal P множество всех линейных порядков на \mathcal O, а через \mathcal R_i — множество порядков, которые может реализовывать агент i.

Теперь уже можно сформулировать и доказать основной результат.

Теорема 6.2. (Гиббарда-Саттертуэйта) Предположим, что:

  • множество возможных исходов \mathcal O конечно и состоит не менее чем из трех элементов: |O|\ge 3 ;
  • все исходы реализуются: f(\mathbf\theta)=\mathcal O ;
  • каждый агент может реализовывать любое рациональное множество предпочтений: \mathcal R_i=\mathcal P.

Тогда функция социального выбора f правдиво реализуема в доминантных стратегиях тогда и только тогда, когда она диктаторская.

Доказательство. Доказательство следствия справа налево тривиально: совершенно очевидно, что диктаторская f правдиво реализуема в доминантных стратегиях. Нужно просто выбирать исход, оптимальный для агента-диктатора, и не обращать внимания на других. При этом для диктатора правдивая стратегия будет, безусловно, доминантной, а другие агенты вообще не влияют на исход, поэтому для них правдивая стратегия не лучше и не хуже любой другой. Дальше мы будем доказывать следствие слева направо.

Доказывать будем в три приема, тремя леммами.

Лемма 6.2. Если \mathcal R_i=\mathcal P для всех i, и f правдиво реализуема в доминантных стратегиях, то f монотонна.

Доказательство. Рассмотрим два профиля типов \mathbf\theta и \mathbf\theta^\prime, для которых

L_i\left(\vphantom{1^2}f(\mathbf\theta),\theta_i\right)\subseteq L_i\left(\vphantom{1^2}f(\mathbf\theta),\theta^\prime_i\right).

Мы хотим показать, что f(\mathbf\theta)=f(\mathbf\theta^\prime).

Доказательство будет следовать классической схеме: взять один вектор (профиль типов) и менять его покомпонентно, пока он не станет совпадать со вторым. Поскольку f правдиво реализуема, то

f(\theta^\prime_1,\theta_2,\ldots,\theta_N)\in L_1\left(f(\mathbf\theta),\theta_1\right)\subseteq L_1\left(f(\mathbf\theta),\theta^\prime_1\right)

и, с другой стороны, f(\mathbf\theta)\in L_1\left(\vphantom{1^2}f(\theta^\prime_1,\theta_2,\ldots,\theta_N),\theta^\prime_1\right). Так как порядки линейные, и все сравнимо (это то же самое условие, которое в теореме Эрроу называлось "строгими предпочтениями"), из этого следует, что

f(\theta^\prime_1,\theta_2,\ldots,\theta_N) = f(\mathbf\theta).

Теперь можно доказать, что

f(\theta^\prime_1,\theta^\prime_2,\theta_3,\ldots,\theta_N) = f(\theta^\prime_1,\theta_2,\ldots,\theta_N) = f(\mathbf\theta).

И так далее, и тому подобное. В общем, f(\mathbf\theta)=f(\mathbf\theta^\prime).

Лемма 6.3. Если \mathcal R_i=\mathcal P для всех i, f монотонна, и f(\mathbf\theta)=\mathcal O, то f эффективна ex post.

Доказательство. Если \mathcal R_i=\mathcal P для всех i, f монотонна и f(\mathbf\theta)=\mathcal O, то f эффективна ex post. Напомним, что "эффективна ex post" означает, что уже после того, как агенты сыграют по своим стратегиям, для каждого возможного значения \mathbf\theta нельзя сместить равновесие туда, где всем будет лучше.

Предположим противное. Пусть существуют такие \theta\in\mathbf\Theta и b\in\mathcal O, что

u_i(b,\theta_i) > u_i(f(\mathbf\theta), \theta_i)

(равенство невозможно, потому что нет несравнимых исходов). Воспользуемся тем, что f(\mathbf\theta)=\mathcal O (сюръективностью). Это значит, что есть такой \mathbf\theta^\prime\in\mathbf\Theta, что f(\mathbf\theta^\prime)=y.

А теперь воспользуемся тем, что все предпочтения в \mathcal P возможны. Выберем такой вектор \mathbf\theta^{\prime\prime}\in\mathbf\Theta, что

\forall i\ \forall x\neq f(\mathbf\theta),y\quad u_i(y,\mathbf\theta^{\prime\prime}_i)>u_i(f(\mathbf\theta),\mathbf\theta^{\prime\prime}_i)>u_i(z,\mathbf\theta^{\prime\prime}_i).

Поскольку

L_i(y,\mathbf\theta^\prime_i)\subset L_i(y,\mathbf\theta^{\prime\prime}_i)

для всех i, то, по монотонности, f(\mathbf\theta^{\prime\prime})=f(\mathbf\theta). А это приводит к противоречию, так как y\neq f(\mathbf\theta).

Итак, теперь мы все подготовили к тому, чтобы напрямую применить теорему Эрроу.

Лемма 6.4. Если f монотонна и эффективна ex post, то она диктаторская.

Доказательство. Эта лемма является прямым следствием из теоремы Эрроу о невозможности (теоремы 6.1).

Суммарно эти три леммы и доказывают теорему Гиббарда-Саттертуэйта.

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига