Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 6:

Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Другие доказательства теоремы Эрроу

Доказательство теоремы 6.1 получилось довольно громоздким и техническим. Конечно, на самом деле это идейное доказательство: мы постепенно получали все более и более сильные свойства определяющих наборов, пока не выяснили, что на самом деле среди них есть одноэлементные множества.

Но можно предложить и другие идейные доказательства, например [7]. В этом параграфе, основанном на работе [21], мы рассмотрим три альтернативных (и достаточно коротких) доказательства теоремы Эрроу. Надеемся, их идеи окажутся достаточно различными, чтобы оправдать такой подход. %Рекомендуем читателю по мере разбора этих доказательств по крайней мере отмечать, %где в каждом из них используется, что альтернатив по меньшей мере три.

Первое доказательство теоремы 6.1. Это доказательство тоже будет проведено в несколько шагов, но на этот раз шаги куда быстрее приведут к цели. Правда, по сравнению с исходным доказательством они могут показаться менее очевидными. Основным для доказательства здесь станет доказательство существования ключевого агента (pivotal agent): агента, который может изменением своего решения изменить результат функции социального выбора.

  1. Если в некотором профиле (\succeq_1,\ldots,\succeq_N) некий исход x\in\mathcal O для каждого агента i находится на самом верху или в самом низу (то есть \forall i \forall y\in O y\succeq_i x или \forall y\in O x\succeq_i y ), то в результате ранжирования функция социального выбора также должна поместить x на одну крайних позиций.

    Доказательство очень простое. Предположим, что это не так, то есть y\succ_f x\succ_f z для некоторых y\neq x, z\neq x. Поскольку x у каждого находится в одной из крайних позиций, мы можем, не нарушая никаких индивидуальных предпочтений, переместить в предпочтениях каждого агента z над y (проверьте, что это возможно!). Тогда по транзитивности y\succ_f z, но единогласное решение агентов гласит, что z\succ y. Противоречие.

  2. Для каждого из исходов x\in\mathcal O существует такой ключевой агент i^*=i(x), что для некоторого профиля предпочтений, в котором x обладает вышеописанным свойством, он может переместить x снизу вверх в результате функции социального выбора, изменив только свой профиль.

    Пусть каждый агент поставит x в самый низ. По анонимности, x должен занимать последнюю позицию. Теперь пусть агенты по одному перемещают x с самого низа на самый верх. Рано или поздно x переместится и, по пункту 1, x переместится сразу на самую верхнюю позицию. Вот последний перед этим профиль предпочтений и соответствующего агента мы и выберем.

  3. Агент i^*=i(x) является диктатором для каждой пары исходов y,z\in\mathcal O, не включающей в себя x.

    Выберем элемент y — один из этой пары — и рассмотрим профиль из пункта 2, для которого агент i^* может переместить x снизу вверх. Пусть теперь i^* изменит свой профиль, переместив y на самый верх: y\succ_{i^*} x\succ_{i^*} z. Рассмотрим всевозможные профили других агентов, в которых y и z меняются местами произвольно, но x остается на своих крайних позициях. По свойству попарной независимости, результат на этих профилях должен быть y\succ_f x, потому что относительные позиции y и x такие же, как в том профиле, когда x у i^* был в самом низу, и в результате x тоже был в самом низу. Аналогично, в результате должно быть x\succ_{f} z. Соответственно, по транзитивности должно быть y\succ_f z. Но эта конструкция не зависела от относительного расположения y и z у других агентов! Иными словами, y\succ_f z тогда и только тогда, когда y\succ_{i^*}z.

  4. Агент i^* является диктатором для любой пары исходов x,y\in\mathcal O.

    Рассмотрим третью возможность z, не входящую в эту пару. Для нее должен быть какой-нибудь диктатор j^*. Он должен быть диктатором для каждой пары, не содержащей z, например для x,y. Но i^* может изменить судьбу пары x,y, потому что он может при определенных обстоятельствах переместить x с самого низа на самый верх. Значит, j^* и i^* — одно лицо.

Второе доказательство теоремы 6.1. Второе доказательство (как, собственно, и третье) тоже будет строить агента-диктатора. Но делать это мы будем уже другим способом. Давайте рассмотрим парадокс Кондорсе и впишем его в профили агентов. Обозначим возможные исходы в алфавитном порядке через \mathcal O=\{x,y,\ldots, z\}. Все агенты в так называемых профилях Кондорсе будут иметь профили одного из |\mathcal O| типов: \theta_x,\theta_y,\ldots,\theta_z. Предпочтения этих типов будут выглядеть так:

\begin{array}{rcccccccc} \theta_x: & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots & \succ & z,\\ \theta_y: & y & \succ & z & \succ & \ldots & \ldots & \succ & x,\\ \vdots  & \vdots & & \vdots & &  & & & \vdots \\ \theta_z: & z & \succ & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots.\\ \end{array}

То есть это просто упорядоченная в алфавитном порядке последовательность исходов, сдвинутая циклически так, чтобы в профиле типа \theta_\alpha исход \alpha оказался бы на первом месте.

Если все агенты имеют тип \theta_x, то, по принципу единогласия, x\succ_f y\succ_f z. Рассмотрим все возможные векторы профилей агентов и выберем из них тот, где число агентов типа \theta_x минимально, но результат все равно имеет тип \theta_x. Обозначим этот профиль через \pi_x. Хотя бы один агент i^*, имеющий тип \theta_x, должен существовать в \pi_x, т. к. если никто из агентов не этого типа, то по принципу единогласия z\succ_f x.

Теперь докажем, что i^* может в профиле \pi_x творить вообще все что хочет. Предположим, что исход \beta следует по алфавиту сразу за исходом \alpha, и в профиле \pi_x агент i^* меняет свой тип на \theta_\beta, и в результате получается профиль Кондорсе \pi_\beta. По свойству попарной независимости, все равно в новом профиле x\succ_f \alpha и \beta\succ_f z. Значит, чтобы порядок изменился (а он должен измениться, ведь мы взяли минимальное возможное число агентов типа \theta_x ), нужно, чтобы в результате было верно \beta \succeq_f \alpha (а если \beta=_f\alpha, то по транзитивности должно быть x\succ_f z ).

Пусть i^* изменит свой профиль на -\theta_x, то есть на профиль вида

z\succ \ldots \succ y \succ x.

Получится уже не профиль Кондорсе \pi_{-x}. Рассмотрим любые два исхода \alpha,\beta, идущие друг за другом по алфавиту. Тогда \theta_\beta и \theta_{-\alpha} совпадают на паре \{\beta,\alpha\} (в обоих \beta\succ\alpha ) и на паре \{x,z\} (в обоих z\succ x ). Значит, по независимости, на профиле \pi_{-x} \beta\succeq_f \alpha, потому что так было в профиле \pi_x. Но поскольку \alpha и \beta произвольные, то, значит, в профиле \pi_{-x}

z\succeq_f\ldots\succeq_f x.

Более того, если бы было верно, что \alpha=_f\beta в профиле \pi_{-x}, то они были бы равны и в профиле \pi_x, и, значит, было бы верно, что x\succ_f z в профиле \pi_\beta, а значит, и в профиле \pi_{-x}, что приводит к противоречию. Значит, все неравенства строгие:

z\succ_f y\succ_f\ldots\succ_f x.

Теперь покажем, что i^* — диктатор в каждом профиле, не только в \pi_x. Предположим, что в некотором профиле \pi агент i^* является диктатором, то есть при условии, что предпочтения остальных соответствуют профилю \pi, агент i^* может добиться любого желаемого решения. Мы это про агента i^* уже доказали для профиля \pi_x. Изменим тогда \pi на \pi^\prime, позволив ровно одному агенту i\neq i^* поднять ровно одну альтернативу на полшага выше: либо разрешить ничью между \alpha и \beta, либо ее создать, но не то и другое вместе, и других альтернатив менять тоже не позволим. Предположим, что для i^* \alpha\succ_{i^*} \gamma\succ_{i^*} \beta в профиле \pi. Тогда, значит, и в результате профиля \pi \alpha\succ_f\gamma\succ_f\beta (ведь i^* там диктатор). Следовательно, и в \pi^\prime \alpha\succ_f \gamma и \gamma\succ_f\beta, а это значит, что по транзитивности \alpha\succ_f\beta.

А по принципу единогласия это значит, что те полшага, которые сделал агент i в профиле \pi^\prime, ничего для f изменить не смогли: в \pi^\prime агент i^* является таким же диктатором, каким был и в профиле \pi. Но это значит, что i^* — диктатор везде, ведь из любого профиля в любой другой можно придти последовательностью таких шажков (проверьте!).

Итак, второе доказательство использовало специальный вид профилей предпочтений агентов — обобщение парадокса Кондорсе. Третье, самое короткое, будет весьма интересным — мы докажем лемму о том, как должны соотноситься между собой разные предпочтения.

Лемма 6.1. (о строгой нейтральности) Рассмотрим две пары альтернатив (x,y) и (\alpha,\beta). Предположим, что предпочтения каждого агента на этих парах совпадают, и все такие предпочтения являются строгими. Тогда предпочтения на выходе функции социального выбора на этих парах тоже будут совпадать и тоже будут строгими. Это выполняется для каждой функции социального выбора.

Доказательство. Если пары (x,y) и (\alpha, \beta) идентичны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда они не совпадают. Предположим без потери общности, что x\ge y. Переместим \alpha (если оно не равно x ) в позицию непосредственно сверху x для каждого агента, а \beta — в позицию непосредственно снизу y для каждого агента (если, конечно, \beta\neq y ). Поскольку все предпочтения строгие, это можно сделать, не нарушив относительного расположения пар (x,y) и (\alpha,\beta):

\begin{array}{cc} \alpha & y\\ x &  \beta \\ y &  \alpha \\ \beta  & x\\ \end{array}

Тогда, по принципу единогласия, \alpha \succ x и y\succ\beta, если они не равны. По транзитивности, \alpha > \beta. Теперь мы можем поменять (x,y) и (\alpha,\beta) местами и в итоге получить, по свойству попарной независимости, что x\succ_f y в исходном профиле. Вот и все, лемма доказана.

Третье доказательство теоремы 6.1. Третье доказательство, опирающееся на лемму 6.1, будет совсем коротким. Рассмотрим два исхода x\neq y и начнем с y\succ_i x для всех i.i Пусть теперь, начиная с i=1, каждый агент по очереди перемещает x наверх y. По единогласию и лемме 6.1, будет существовать агент i^*, при изменении предпочтения которого x перемещается наверх относительно y и после применения функции социального выбора. Докажем, что i^* — диктатор. Рассмотрим произвольную пару исходов (\alpha,\beta), для которой \alpha\succ_{i^*}\beta. Пусть ранжирование этой пары у других агентов будет совершенно произвольным.

Рассмотрим теперь третий исход z\notin\{\alpha,\beta\} и переместим z выше всех остальных исходов для агентов от 1 до i^*-1, ниже всех остальных для агентов от i^*+1 до N, а для самого i^* поместим z между \alpha и \beta: \alpha\succ_{i^*} z\succ_{i^*}\beta. Тогда, по попарной независимости и лемме 6.1, в предпочтениях социальной функции \alpha\succ_f z и z\succ_f \beta, а это значит, по транзитивности, что \alpha\succ_f\beta. Следовательно, i^* оказался диктатором.

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига