Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 6:

Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Теорема Эрроу

В этом параграфе мы перейдем к чуть более общей формулировке и докажем, что все равно ничего не получается. Как и прежде, через \mathcal O мы будем обозначать множество возможных исходов. На этом множестве у каждого из агентов i есть некоторый профиль предпочтений, который мы будем обозначать через \succeq_i: для двух исходов x и y будем писать, что x\succeq_i y, если агент i предпочитает исход x перед y.

Определение 6.1. Профиль предпочтений \succeq называется рациональным, если он является линейным порядком, то есть любые два исхода сравнимы и выполняется условие транзитивности: для всяких x,y,z\in\mathcal O, если x\succeq y и y \succeq z, то x\succeq z .

Мы будем предполагать, что профили предпочтений бывают всякие. Например, всякие рациональные — их множество мы обозначим через \mathcal R. Или вообще всякие профили, лишь бы любые два исхода были различимы: множество таких исходов мы обозначим через \mathcal P. Если агентов N, то, значит, множество всевозможных предпочтений будет в этих обозначениях \mathcal R^N или \mathcal P^N.

Функция социального выбора в данном контексте — это некоторая функция f с областью определения \mathcal R^N или \mathcal P^N и областью значений \mathcal O, которая по данным предпочтениям агентов выбирает исход. Мы чуть обобщим это определение и будем считать, что функция социального выбора выдает не один исход, а слабый линейный порядок на имеющихся исходах (то есть f:\mathcal R^N\to \mathbb R ); этот порядок мы будем обозначать через \succeq_{f(\succeq_1,\ldots,\succeq_N)} или, когда ясно, на каком входе берется функция, просто \succeq_f.

Мы бы хотели, чтобы функция социального выбора удовлетворяла тем естественным условиям, которые мы сформулировали в 6.1. Сначала — принцип единогласия, он же эффективность по Парето.

Определение 6.2. Пусть пара исходов x,y\in\mathcal O такова, что для каждого агента i исход x не хуже, и при этом для какого-нибудь агента он строго лучше: для всех i x\succeq_i y, и существует такое j, что x\succ_j y. Тогда функция социального выбора f называется эффективной по Парето, если для каждой такой пары исходов результат функции социального выбора f(\succeq_1,\ldots,\succeq_N) ставит x перед y: x\succeq_f y.

Затем сформулируем формально свойство попарной независимости предпочтений: результат функции должен зависеть только от относительных предпочтений сравниваемых исходов, а не от каких-то третьих возможностей.

Определение 6.3. Функция социального выбора f удовлетворяет свойству попарной независимости предпочтений, если для каждой пары профилей (\succeq_1,\ldots,\succeq_N) и (\succeq^\prime_1,\ldots,\succeq^\prime_N), если для каждого i x \succeq_i y тогда и только тогда, когда x\succeq^\prime_i y:

\forall i\quad x \succeq_i y \Leftrightarrow x\succeq^\prime_i y,

то в результате x \succeq_{f(\succeq_1,\ldots,\succeq_N)} y тогда и только тогда, когда x\succeq_{f(\succeq^\prime_1,\ldots,\succeq^\prime_N)} y:

\forall i\quad x \succeq_{f(\succeq_1,\ldots,\succeq_N)} y \Leftrightarrow x\succeq_{f(\succeq^\prime_1,\ldots,\succeq^\prime_N)} y.

Наконец, последнее определение будет касаться уже не того, чего бы нам хотелось, а того, что у нас в итоге получится.

Определение 6.4. Функция социального выбора f называется диктаторской, если существует такой агент h, что для любых x,y\in\mathcal O и любого профиля (\succeq_1,\ldots,\succeq_N) x\succeq_f y тогда и только тогда, когда x\succ_h y .

Проще говоря, диктаторская функция социального выбора делает точно такой же выбор, как один из представленных агентов. Конечно, у диктаторской функции получится соответствовать нужным свойствам, точно так же как у предпочтений одного агента это получается (проверьте это формально!). А беда в том, что ничего другого-то и не получится. Мы наконец готовы к тому, чтобы сформулировать и доказать теорему Эрроу [3].

Теорема 6.1. (Эрроу) Пусть множество возможных исходов \mathcal O состоит из не менее чем трех элементов, и возможны все рациональные профили ( \mathcal R ) или все профили, в которых любые две альтернативы различимы ( \mathcal P ). Тогда всякая функция социального выбора f, которая оптимальна по Парето и удовлетворяет условию попарной независимости, является диктаторской.

Доказательство.

Начнем доказательство с определения, простите за тавтологию, определяющих наборов агентов — ключевого понятия для этого доказательства теоремы Эрроу.

Определение 6.5. Для данного f будем говорить, что набор агентов S\subset [N] (через [N] мы обозначим множество индексов от 1 до N ):

  • определяющий для x перед y, если когда каждый агент в S предпочитает x\succ y и каждый агент в [N]\setminus S предпочитает y\succ x, F выбирает x ;
  • определяющий, если он определяющий для любой пары \{x,y\} ;
  • полностью определяющий, если когда каждый агент из S предпочитает x\succ y, f тоже предпочитает x\succ_f y.

Важное замечание: первое из этих определений достаточно слабое, оно касается только ситуаций, когда агенты из S голосуют за x, а все агенты не из S голосуют за y ; но из него мы быстро перейдем и к более сильным ситуациям.

Доказательство мы проведем в... десять этапов. Не будем, пожалуй, оформлять каждый из этих этапов в отдельную лемму, а просто последовательно их приведем. В каждом пункте ниже выделенное курсивом утверждение — то, что хочется доказать, а в следующем абзаце идет его доказательство. Большинство доказательств однотипны: мы пользуемся тем, что множество возможных предпочтений достаточно богато, и строим такой профиль предпочтений, из которого будет следовать нужный результат.

  1. Если для некоторых x и y набор S\subset [N] является определяющим для x перед y, то \forall z\neq x набор S является определяющим для x перед z и \forall z\neq y набор S является определяющим для z перед y.

    Если z=y, доказывать нечего. Если z\neq y, то рассмотрим такой профиль (\succeq_1,\ldots,\succeq_N), что

    \begin{array}{rl} x\succ_i y\succ_i z & \forall i\in S,\\ y\succ_i z\succ_i x & \forall i\in [N]\setminus S.\end{array}

    Тогда, значит, по свойству определяющего набора f должна предпочесть x перед y. А по оптимальности по Парето f предпочитает y перед z. Значит, f предпочитает x перед z. Осталось сослаться на попарную независимость.

  2. Если для некоторых x и y набор S\subset [N] является определяющим для x перед y, и z — третья альтернатива, то набор S является определяющим для z перед w и для w перед z для всех w\neq z\in\mathcal O.

    По шагу 1, S определяющий для z перед y и для x перед z. Применим снова шаг 1 для пары \{x,z\} и альтернативы w ; из шага 1 видно, что S будет определяющим и для w перед z. Аналогичное рассуждение проходит и для пары \{z,y\}.

  3. Если для некоторых \{x,y\}\subset\mathcal O S определяющий для x перед y, то S определяющий.

    Доказательство сразу следует из шага 2 и из того, что третья альтернатива существует (здесь это важно!).

  4. Если S определяющий и T определяющий, то S\cap T тоже определяющий.

    Рассмотрим тройку альтернатив \{x,y,z\}\subset\mathcal O и такой профиль (\succeq_1,\ldots,\succeq_N), что

    \begin{array}{ll} z \succ_i y  \succ_i x \quad &\forall i\in S\setminus(S\cap T), \\ x  \succ_i z  \succ_i y \quad &\forall i\in S\cap T, \\ y  \succ_i x  \succ_i z \quad &\forall i\in T\setminus(S\cap T), \\ y  \succ_i z  \succ_i x \quad &\forall i\in [N]\setminus(S\cup T). \end{array}

    Тогда z\succ_f y, потому что S=(S\cap T)\cup(S\setminus(S\cap T)) — определяющий, и x\succ_f z, потому что T — определяющий. Значит, x\succ_f y, и по попарной независимости S\cap T тоже является определяющим для x перед y. Значит, он и вообще определяющий.

  5. Для любого S\subset [N] либо S определяющий, либо его дополнение [N]\setminus S определяющий. Рассмотрим тройку альтернатив x,y,z\in\mathcal O и такой профиль предпочтений (\succeq_1,\ldots,\succeq_N), что

    \begin{array}{ll} x \succ_i z \succ_i y  &\forall i\in S, \\ y \succ_i x  \succ_i z  &\forall i\in [N]\setminus S. \end{array}

    Тогда либо x\succ_f y, и S определяющий для x перед y, либо y\succ_f x. Если y\succ_f x, то по свойству оптимальности по Парето x\succ_f z, и, значит, y\succ_f z ; значит, [N]\setminus S является определяющим набором для y перед z

    .
  6. Если S определяющий и S\subset T, то T определяющий.

    Пустой набор не может быть определяющим из-за свойства оптимальности по Парето. Значит, [N]\setminus T не может быть определяющим, потому что тогда и \emptyset = S\cap ([N]\setminus T) будет определяющим. Значит, по пункту 5, T определяющий.

  7. Если S\subset [N] определяющий, и |S|>1, то есть строгое подмножество S^\prime\subsetneq S, тоже являющееся определяющим набором.

    Рассмотрим h\in S. Если S\setminus\{h\} определяющий, то утверждение доказано. Если нет, то [N]\setminus(S\setminus\{h\}) определяющий, и

    \{h\} = S\cap ([N]\setminus(S\setminus\{h\}))

    определяющий.

  8. Для некоторого h\in [N] \{h\} определяющий.

    Нужно просто несколько раз применить шаг 7.

  9. Если S\subset [N] определяющий, то для всех x и y S полностью определяющий для x перед y.

    Нужно получить, что для всех T\subset [N]\setminus S x\succ_f y, если все агенты из S предпочитают x\succ y, все агенты из T предпочитают x\succeq y, а остальные — y\succ x.

    Рассмотрим третью альтернативу и такой профиль (\succeq_1,\ldots,\succeq_N), что

    \begin{align*} x & \succ_i z  \succ_i y \quad &\forall i\in S, \\ x & \succ_i y  \succ_i z \quad &\forall i\in T, \\ y & \succ_i z  \succ_i x \quad &\forall i\in [N]\setminus (S\cup T). \end{align*}

    Тогда x\succ_f z, потому что S\cup T определяющий, и z\succ_f y, потому что S определяющий. Значит, x\succ_f y, что и требовалось.

  10. Если \{h\} определяющий, то h — диктатор.

    Это в точности следует из определения полностью определяющего набора.

Как видите, мы неоднократно и по делу пользовались тем, что |\mathcal O|\ge 3. В самом деле, если |\mathcal O|=2, то теорема неверна: функция социального выбора "большинство голосов", как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, и недиктаторская, и оптимальная по Парето, и обладает свойством попарной независимости предпочтений.

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига