Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 5:

Эффективные и оптимальные механизмы

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Оптимальные механизмы

Теперь вернемся к более общей ситуации и начнем наши рассуждения с оптимальных механизмов. Чтобы построить оптимальный механизм, нужно для прямого механизма (\mathbf Q, \mathcal M) максимизировать ожидание дохода продавца:

\mathbf E(R) = \sum\limits_{i=1}^N\mathbf E[m_i(X_i)],

где X_i — распределение ценностей агента i, а m_i(X_i) — его выплата. Далее мы подсчитаем это ожидание явно, но сначала вспомним обозначения доходности и выплаты агентов. Через q_i(z_i) мы обозначаем ожидаемую доходность агента i, когда он говорит z_i, а остальные говорят правду:

q_i(z_i) = \int_{\mathcal X_{-i}}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i})d\mathbf x_{-i}.

А через m_i(z_i) — ожидаемую выплату агента i в той же ситуации:

m_i(z_i) = \int_{\mathcal X_{-i}}M_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i})d\mathbf x_{-i}.

Напомним, что отрицательные индексы означают "все, кроме"; например, f_{-i}(\mathbf x_{-i}) означает распределение ценностей всех агентов, кроме агента i.

Для вывода ожидаемого дохода продавца будем использовать формулу для ожидаемой выплаты m_i(x_i) агента i, которую мы получали в теореме об эквивалентности доходности (теорема 4.1):

\mathbf E[m_i(X_i)] = \int_0^{\omega_i}m_i(x_i)f_i(x_i)dx_i = \\ = m_i(0) + \int_0^{\omega_i}q_i(x_i)x_if_i(x_i)dx_i - \int_0^{\omega_i}\int_0^{x_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dt_idx_i.

Преобразуем двойной интеграл, поменяв в нем порядок интегрирования. Здесь снова никаких теоретических проблем с изменением порядка не возникает; область интегрирования показана на рис. 5.2.

Область интегрирования интеграла

Рис. 5.2. Область интегрирования интеграла
\int_0^{\omega_i}\int_0^{x_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dt_idx_i =
\int_0^{\omega_i}\int_{t_i}^{\omega_i}q_i(t_i)f_i(x_i)dx_idt_i = \\
= \int_0^{\omega_i}(1-F_i(t_i))q_i(t_i)dt_i.

Запишем снова ожидаемую выплату агента i и вспомним, что q_i по определению — интеграл по \mathbf x_{-i}. Тогда интегралы по x_i и \mathbf x_{-i} весьма удобно объединятся:

\mathbf E[m_i(X_i)] = m_i(0) + \int_0^{\omega_i}\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)q_i(x_i)f_i(x_i)dx_i = \\ = \int_\mathcal X\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.

В итоге, просуммировав по всем агентам, получаем ожидаемый доход продавца:

\mathbf E[R] = \sum_{i=1}^N\mathbf E[m_i(X_i)] =\sum_{i=1}^Nm_i(0)+\sum_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\left(x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}\right)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.

Осталось максимизировать это выражение при следующих условиях:

  • правдивость, что равносильно неубыванию q_i ;
  • рациональность, что равносильно m_i(0)\le 0, то есть если у агента собственная ценность 0, то он должен заплатить не больше 0, чтобы не быть в убытке.

Все эти равносильности уже объяснялись в лекции "Теорема об эквивалентности доходности" .

Введем для упрощения записи понятие виртуальной ценности предмета для агента i:

\psi_i(x_i)=x_i - \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}.

Смысл виртуальной ценности в том, что продавец должен максимизировать \psi_i(x_i), если хочет быть оптимальным. Заметим, что если максимизировать x_i, то он будет эффективным — вот и вся разница между эффективностью и оптимальностью.

Докажем, что \mathbf E[\psi_i(X_i)] = 0:

\mathbf E[\psi_i(X_i)]=\mathbf E(X_i)-\int_{X_i} \frac{1-F_i(x_i)}{f_i(x_i)}f(x_i)dx_i=\mathbf E(X_i)-\int_{X_i}\left(1-F_i(x_i)\right)dx_i.

Рассмотрим теперь отдельно интеграл справа. Поменяем порядок интегрирования, как уже было сделано в показанном на рис. 5.2 случае:

\int_0^{\omega_i}\left(1-F_i(x_i)\right)dx_i = \int_0^{\omega_i}\left(\int_{x_i}^{\omega_i} f(y)dy\right)dx_i = \\ = \int_0^{\omega_i}\left(\int_0^y dx_i\right)f(y)dy = \int_0^{\omega_i} f(y)ydy = \mathbf E(X_i).

Таким образом мы получили, что математическое ожидание виртуальной ценности каждого агента равно нулю.

Будем называть задачу дизайна механизмов регулярной, если \psi_i является возрастающей функцией от x_i для любого i . Это эквивалентно тому, что функция риска \lambda_i возрастает, так как

\psi_i(x_i) = x_i - \frac1{\lambda_i(x_i)}.

В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные задачи.

Запишем ожидаемый доход продавца в терминах виртуальных ценностей:

\mathbf E[R]=\sum_{i=1}^Nm_i(0)+\sum_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x.

Рассмотрим подынтегральное выражение \sum_{i=1}^N\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x). \mathbf Q похожа на весовую функцию, взвешивающую \psi_i. Резонно было бы дать максимальный вес максимальному \psi_i (если он положительный), а про остальные забыть. Это максимизировало бы функцию в каждой точке, а значит, и интеграл тоже. Это и будет идеей конструкции, но нам еще придется учесть ограничения (правдивость и рациональность).

Итак, рассмотрим прямой механизм (\mathbf Q, \mathcal M), у которого выполняются следующие свойства:

  • Функция распределения \mathbf Q распределяет объект покупателю i с положительной вероятностью тогда и только тогда, когда у него максимальная и неотрицательная виртуальная ценность:

    Q_i(\mathbf x)>0\quad \Leftrightarrow\quad \psi_i(x_i)=\max_{j=1..N}\psi_j(x_j)\ge 0.

    Если покупателей с максимальным \psi_i(x_i) несколько, то на них может быть любое положительное распределение \mathbf Q, то есть просто не важно, кому именно из них достанется объект.

  • Плата \mathcal M определяется следующим образом:

    M_i(\mathbf x)=Q_i(\mathbf x)x_i - \int_0^{x_i}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})dz_i.

    Такая функция платы нужна для того, чтобы выполнялось условия рациональности.

Оказывается, что (при условии регулярности) это и есть оптимальный механизм.

Теорема 5.1. Для регулярной задачи дизайна механизмов механизм (\mathbf Q,\mathcal M), где

Q_i(\mathbf x)&=&\begin{cases}
    1, & \psi_i(x_i)\ge\max_{j\neq i}\psi_j(x_j)\text{ и }\psi_i(x_i)\ge
0,\\
    0, & \text{в противном случае},\end{cases} \\
M_i(\mathbf x)&=&Q_i(\mathbf x)x_i - \int_0^{x_i}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})dz_i,

является правдивым, рациональным и оптимальным среди всех рациональных3Конечно, если разрешить аукционеру принудительно собирать любую сумму с агентов-участников, можно получить доход и побольше. Но мы все же предполагаем, что находимся на свободном рынке, и агенты вольны выбирать, участвовать им в аукционе или нет. Следовательно, нас интересуют только рациональные аукционы — остальные просто останутся без участников..

Доказательство. Во-первых, покажем правдивость построенного нами механизма. Пусть z_i<x_i. Тогда, по регулярности, \psi_i(z_i)<\psi_i(x_i), и, значит,

\forall\mathbf x_{-i}\quad Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})\le Q_i(x_i,\mathbf x_{-i}).

Значит, q_i неубывающая, то есть механизм правдивый.

Во-вторых, покажем рациональность. Очевидно, что

M_i(0,\mathbf x_{-i})=0.

Значит, m_i(0)=0, и механизм рациональный. Заметим, что форма платы \mathcal M в данном случае полностью задана распределением \mathbf Q ; \mathcal M определена с точностью до константы, которую мы изначально приняли такой, чтобы выполнялось m_i(0)=0.

Таким образом, это рациональный и правдивый механизм. Кроме того, он оптимален, так как максимизирует каждое из двух слагаемых формулы дохода продавца по отдельности. Во-первых, он максимизирует \sum_{i=1}^Nm_i(0), потому что m_i(0)\le 0 для всех рациональных механизмов, а в нашем m_i(0)=0. Во-вторых, он максимизирует \sum_{i=1}^N\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x) в каждой точке, потому что дает весь имеющийся вес Q_i=1 агенту с максимальной виртуальной ценностью \psi_i(x_i). Значит, он максимизирует и

\mathbf E[R]=\sum\limits_{i=1}^Nm_i(0)+\sum\limits_{i=1}^N\int_{\mathcal X}\psi_i(x_i)Q_i(\mathbf x)f(\mathbf x)d\mathbf x

Давайте теперь изучим то, что у нас получилось. Максимальный доход нашего оптимального аукциона получается по простой формуле:

\max\mathbf E[R] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}\max\{\psi_1(X_1),\ldots,\psi_N(X_N),0\}\right].

Ноль добавляется на случай, если все виртуальные ценности окажутся отрицательными.

Проанализируем теперь, сколько придется заплатить победителю такого аукциона. Рассмотрим новые функции

y_i(\mathbf x_{-i}) = \inf\{z_i\mid \psi_i(z_i)>0\ \text{и}\ \forall j\neq i\ \psi_i(z_i)\ge \psi_j(x_j)\}.

Это минимальное значение ставки игрока i, которое позволит ему выиграть аукцион (даст ему положительную виртуальную ценность, которая окажется больше, чем виртуальные ценности всех других участников). Тогда определение правила распределения \mathbf Q можно переписать как

Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})=\begin{cases} 1, & z_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & z_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}

Подсчитаем интеграл:

\int_0^{x_i}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})dz_i = \begin{cases} x_i-y_i(\mathbf x_{-i}), & x_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & x_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}

Значит, правило выплаты \mathcal M можно с использованием функций y_i переписать как

M_i(\mathbf x) = \begin{cases} y_i(\mathbf x_{-i}), & x_i>y_i(\mathbf x_{-i}),\\ 0, & x_i<y_i(\mathbf x_{-i}).\end{cases}

Иначе говоря, только победитель что-то платит, и он платит минимальную ставку y_i(\mathbf x_{-i}), достаточную, чтобы обеспечить ему выигрыш. Но это в точности основной принцип аукциона второй цены! Значит, выше мы доказали, что оптимальный аукцион при продаже одной вещи нейтральным к риску агентам — это аукцион Викри с резервной ценой. Более того, из теоремы 5.1 можно извлечь и оптимальную резервную цену.

Рассмотрим для простоты симметричный случай: пусть все агенты симметричны, то есть плотности распределения ценностей f_i равны. Тогда все виртуальные ценности \psi_i=\psi. Тогда получаем, что

y_i(\mathbf x_{-i}) = \max\left\{\max\limits_{j\neq i}x_j, \psi^{-1}(0)\right\}.

Таким образом, победитель платит максимум из всех остальных ставок или резервную цену, если все остальные ставки меньше. Проще говоря, мы получили в точности аукцион второй цены с резервной ценой

r = \psi^{-1}(0).

Пример 5.3. Подсчитаем \psi^{-1}(0) для равномерных распределений на [0,1]. Поскольку

\psi(x) = x - \frac1{\lambda(x)},

то \psi^{-1}(0) является корнем уравнения

x=\frac1{\lambda(x)}.

Решим это уравнение, используя определение функции риска:

x=\frac1{\lambda(x)}=\frac{1-F(x)}{f(x)}.

Поскольку ценности распределены на [0,1], то F(x)=x, f(x)=1. Тогда получаем, что \psi^{-1}(0)=\frac{1}{2}. Иначе говоря, продавцу будет выгодно установить резервную цену в \frac{1}{2}. Здесь мы, конечно, предполагали, что упоминавшийся в предыдущем параграфе доход продавца от удержания вещи у себя (величина x_0 ) равен нулю.

Конец примера 5.3.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига