Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1408 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 4:

Теорема об эквивалентности доходности

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >

Правдивость и эквивалентность доходности

Рассмотрим прямой механизм \mathcal M = (\mathbf Q,\mathbf M). Напомним, что в нем у участников просто спрашивают их скрытую стоимость: \mathbf\Theta = \mathcal X, и механизм можно рассматривать как два правила:

  • правило распределения (allocation rule) \mathbf Q = (Q_1(\mathbf x),\ldots,Q_N(\mathbf x)) определяет вероятность того, что агент i получит объект ;
  • правило выплаты (payment rule) \mathbf M=(M_1(\mathbf x),\ldots,M_N(\mathbf x)) определяет ожидаемую выплату агента i .

Тогда исходы механизма определяются как множество пар значений этих функций для всевозможных векторов ставок:

\mathcal O =\{\vphantom{1^2_3}(\mathbf Q(\mathbf x),\mathbf M(\mathbf x))\mid \mathbf x\}.

Введем два важных обозначения. Обозначим через q_i(z_i) ожидаемую доходность агента i, когда он говорит z_i, а остальные говорят правду:

q_i(z_i) = \int_{\mathbf X_{-i}}Q_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i}){\mathbf d}\mathbf x_{-i}.

А через m_i(z_i) — его ожидаемую выплату в этой ситуации:

m_i(z_i) = \int_{\mathbf X_{-i}}M_i(z_i,\mathbf x_{-i})f_{-i}(\mathbf x_{-i}){\mathbf d}\mathbf x_{-i}

(в этих формулах, а также в дальнейшем, \bf d означает многомерный дифференциал, например \bf{d}\mathbf x_{-i} = dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_N ). Тогда ожидаемый доход агента i, если он говорит z_i, получается как

U_i(z_i) = q_i(z_i)x_i - m_i(z_i).

Теперь можно определить правдивость механизма в этих обозначениях.

Лемма 4.1. Прямой механизм (\mathbf Q,\mathbf M) является правдивым тогда и только тогда, когда

\forall i\ \forall x_i,z_i\quad U_i(x_i) = q_i(x_i)x_i - m_i(x_i) \ge q_i(z_i)x_i - m_i(z_i).

U_i(x_i) называется равновесной функцией дохода.

Доказательство. Собственно, неравенство, которое приведено в формулировке леммы, и исчерпывает доказательство: для правдивости относительно агента i нужно, чтобы его ожидаемый доход при правдивой ставке был не ниже, чем при любой другой ставке; это должно происходить в ожидании по типам всех остальных агентов.

Ничего содержательно нового в этой вариации определения нет: по-прежнему механизм правдив, если выгодно говорить правду. Новизна — в удачно подобранных определениях, которые нам позволят доказать несколько важных свойств.

Теорема 4.2. (свойства правдивых механизмов). Каждый правдивый механизм \mathcal M = (\mathbf Q,\mathbf M) с равновесными функциями дохода U_i обладает следующими свойствами:

  1. Для каждого i U_i является выпуклой функцией.
  2. Для каждого i функция q_i является неубывающей.
  3. Функция ожидаемого дохода агента с точностью до константы зависит только от правила распределения \mathbf Q, но не от правила выплаты \mathbf M.

Более того, второе из этих свойств на самом деле равносильно правдивости.

  1. Если для некоторого механизма \mathcal M функции q_i являются неубывающими, то \mathcal M правдив.

Доказательство.

  1. Выпуклость U_i. U_i выпукла, потому что она является максимумом аффинных функций:

    U_i(x_i) = \max_{z_i}\{ q_i(z_i)x_i - m_i(z_i)\}.

  2. Неубывание q_i. Перепишем формулу для U_i(z_i):

    q_i(x_i)z_i - m_i(x_i) = U_i(x_i) + q_i(x_i)(z_i-x_i).

    Значит,

    U_i(z_i)\ge U_i(x_i) + q_i(x_i)(z_i-x_i).

    Всякая выпуклая функция абсолютно непрерывна и, следовательно, дифференцируема почти всюду в своей области определения. Значит, U^\prime_i(x_i) = q_i(x_i) почти всюду. И опять же, раз U_i выпуклая, то, значит, ее вторая производная неотрицательна, а это означает, что ее первая производная q_i не убывает. Иначе говоря, если больше предложите, вероятность получить вещь не уменьшится.

  3. Независимость от правила выплаты. Абсолютно непрерывная функция представляет собой интеграл от своей производной:

    U_i(x_i) = U_i(0) + \int_0^{x_i}q_i(t_i)dt_i.

    Вот мы и получили, что форма ожидаемого дохода агента зависит только от правила распределения, но не от правила выплаты. Правило же выплаты определяет только U_i(0) (это называется эквивалентностью наград, payoff equivalence).

  4. Неубывание q_i влечет правдивость механизма. Правдивость механизма по определению означает

    U_i(z_i)\ge U_i(x_i) + q_i(x_i)(z_i-x_i).

    Но мы знаем, что

    U_i(x_i) = U_i(0) + \int_0^{x_i}q_i(t_i)dt_i.

    Значит,

    \int_{x_i}^{z_i}q_i(t_i)dt_i \ge q_i(x_i)(z_i-x_i).

    Но если q_i не убывает, это неравенство верно. Получилось, что из неубывания q_i следует правдивость механизма.

Обобщив все вышесказанное и вспомнив, что

U_i(x)=q_i(x_i)x_i-m_i(x_i),\text{ причем }U_i(0)=-m_i(0),

можно сформулировать еще одну, более общую формулировку теоремы эквивалентности доходности.

Теорема 4.3. (теорема эквивалентности доходности). Если прямой механизм (\mathbf Q,\mathbf M) правдив, то для всех i и x_i ожидаемая выплата равна

m_i(x_i) = m_i(0) + q_i(x_i)x_i - \int_0^{x_i}q_i(t_i)dt_i,

и это означает, что ожидаемая выплата агента с точностью до константы зависит только от правила распределения.

Это обобщает наш предыдущий результат (теорема 4.1) — теперь агенты могут быть несимметричными, и правила распределения тоже могут различаться. Предыдущая теорема получается как частный случай: если агенты симметричны, есть неубывающая равновесная стратегия и объект распределяется покупателю с наивысшей ставкой, то правила распределения у всех таких аукционов совпадают и зависят только от распределения F.

Когда теорема не помогает

Теорема об эквивалентности доходности — мощный инструмент, и теоретически она подтверждает, что доход продавца и ожидаемая прибыль участников от формы аукциона не особенно зависят. Разве что аукционер решит собрать со всех по лишнему доллару — тогда у всех доходность уменьшится на доллар, но смысл аукциона не изменится.

Однако практика не всегда подтверждает теорию; на практике есть некоторые вещи, в основном психологические, которые иногда приводят к тому, что агенты действуют не оптимально (точнее, не так, как планировалось, что для них будет оптимально).

В 2004 году компания Google решила весьма оригинально выйти на рынок. Их IPO прошло в виде большого голландского аукциона: потенциальные инвесторы выставляли заявки на цены, по которым они готовы купить акции Google, а конечная цена устанавливалась как наивысшая из всех, по которым на все акции еще нашелся бы покупатель. Google таким образом надеялся максимизировать доход от IPO.

Все прошло очень хорошо, но все же не настолько хорошо, насколько ожидалось изначально. Экономисты предполагали, что акции Google будут проданы по ценам между $108 и $135. Однако на самом деле по итогам аукциона они колебались между $85 и $95. Как можно объяснить эту "неудачу" (в кавычках, потому что на самом деле Google и так вышел на рынок очень уверенно, и его акции долгое время были одним из лучших вложений на рынке ценных бумаг)? Мог ли Google, выбрав другую модель IPO (другую модель аукциона или продажу по фиксированной цене), увеличить свои доходы от первого дня торгов?

Во-первых, могли сыграть роль психологические факторы. Специалисты отмечают, что голландский аукцион не понравился многим потенциальным инвесторам, в том числе по сугубо психологическим причинам: старый, редко ныне используемый формат, вряд ли что-то хорошее из него выйдет...

А во-вторых, и в-главных, теорема об эквивалентности доходности верна только для нейтральных к риску агентов. Для осторожных агентов она неверна, и разные модели аукционов приводят к разным доходностям для продавца. А инвесторам, особенно после неоднократного краха доткомов и при общей нестабильности рынка высоких технологий, свойственна осторожность. Поэтому, возможно, Google мог бы оптимизировать свой доход, используя другой формат IPO.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига