Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 4:

Теорема об эквивалентности доходности

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: В этой лекции мы снова будем рассматривать аукционы. Для начала давайте вспомним и полностью перечислим условия, в которых проводится аукцион, и обозначения, которые мы вводили для разных связанных с этим величин.

Введение

Итак, в аукционе участвуют N покупателей (агентов). У каждого из них есть своя внутренняя ценность x_i, которая определяется случайной величиной X_i, распределенной по одному и тому же распределению F(x) (в этой лекции мы будем находиться в симметричном случае). Первый момент множества из N-1 агентов, то есть случайную величину, характеризующую максимальную цену из них, обозначим через G(x) = F(x)^{N-1}. Мы ограничимся стандартными аукционами, в которых вещь достается тому, кто больше всех предложил. При этом, конечно, то, сколько он в действительности заплатит, зависит от формы аукциона.

Для аукциона A и агента i введем обозначение m_i^{\mathcal A}(x_i) — сколько участник i ожидает заплатить, участвуя в A и используя равновесную стратегию (предполагается, что равновесие в A существует). Агенты в симметричном случае одинаковые, поэтому m^{\mathcal A} не зависит от i. Введем вдобавок начальное условие: участник со ставкой 0 платит 0.

Кроме того, мы будем предполагать, что агенты нейтральны к риску (risk-neutral). Нейтральный к риску агент не делает разницы между распределениями своего дохода с разными дисперсиями. Проще говоря, для него заплатить 10$, чтобы с вероятностью \frac{1}{2} получить 20$, — честная сделка с нулевым доходом. В случае, когда агенты осторожны (risk-averse) и надежный доход предпочитают случайным величинам, анализ всех этих ситуаций достаточно существенно меняется; мы сейчас не будем рассматривать эту ситуацию.

Теорема будет достаточно удивительной: окажется, что в любом равновесии ожидаемые выплаты агентов (а значит, и доход продавца) одинаковы! То есть можно не ожидать, что при помощи какой-нибудь хитрой схемы аукционер сможет максимизировать свой доход, — при эгоистичных агентах, которые могут успешно рассчитать оптимальную стратегию, доходы будут совершенно однаковыми. Впервые похожий эффект заметил основатель всей теории аукционов Викри [76,77]. А теорему независимо доказали Майерсон [55] и Райли и Самуэльсон [69].

Теорема эквивалентности доходности

Начнем с формулировки теоремы эквивалентности доходности, которая касается введенных выше обозначений. Мы будем устанавливать эквивалентность доходности в терминах "дохода продавца" Revenue, но доказывать будем для ожидаемых выплат каждого из агентов. Если агент i участвует в аукционе \mathcal A, его ожидаемая выплата равна

m^{\mathcal A}_i(x) = \int_0^\omega\ldots\int_0^\omega m^{\mathcal A}_i(\mathbf x)d\mathbf x_{-i}.

А ожидание дохода продавца получается как сумма всех ожидаемых выплат покупателей:

\mathbf E[\mathrm{Revenue}] = \mathbf E\left[\sum\limits_{i=1}^N m^{\mathcal A}_i(x)\right] = N\mathbf E\left[m^{\mathcal A}(x)\right],

если мы находимся в симметричном случае, где все агенты равноправны.

Теорема 4.1. Пусть скрытые значения агентов x_i распределены независимо и одинаково, и все агенты нейтральны к риску. Тогда любое симметричное равновесие любого стандартного аукциона, такое, что ожидаемая выплата агента со ставкой 0 равна нулю, дает один и тот же ожидаемый доход продавцу.

Доказательство. Будем следовать схеме, которую мы уже излагали в доказательстве теоремы 3.2. Рассмотрим первого агента: остальные следуют равновесной стратегии \beta, а он ставит некоторое значение b. Поскольку b — тоже возможная ставка, существует некоторое z, для которого b=\beta(z). Здесь z можно рассматривать как "ложную" внутреннюю стоимость: можно считать, что агент делает ставку по стратегии \beta, но просто подменяет свою истинную внутреннюю стоимость x на z.

Агент выигрывает, когда его ставка \beta(z) превышает самую большую из других ставок \beta(Y_1), то есть (так как \beta возрастает) когда z>Y_1. Тогда игрок ожидает получить следующую прибыль:

\Pi^{\mathcal A}(z,x) = G(z)x - m^{\mathcal A}(z),

где G(z)=F(z)^{N-1} (распределение Y_1 ). Заметим, что m^{\mathcal A}(z) зависит от \beta и от z, но не зависит от внутренней ценности x.

Нам нужно максимизировать прибыль, которую агент ожидает получить. Метод максимизации будет самый что ни на есть классический: взять производную и приравнять ее нулю. Дифференцируя выражение для ожидаемой прибыли по z, получим следующее равенство:

\frac{\partial}{\partial z}\Pi^{\mathcal A}(z,x) = g(z)x - \frac{d}{dz}m^{\mathcal A}(z)=0.

Но мы находимся в равновесии, а это значит, что агенту нужно поступать в соответствии со стратегией \beta, применяя ее к своей истинной скрытой ценности. Иначе говоря, максимум достигается, если агент берет z=x и сообщает \beta(x). Приравняв в предыдущем уравнении z и x, получим следующее:

\frac{d}{dy}m^{\mathcal A}(y) = g(y)y.

Когда мы найдем решение этого дифференциального уравнения, мы получим выражение для m^{\mathcal A}(x):

m^{\mathcal A}(x) = m^{\mathcal A}(0) + \int_0^xyg(y)dy = \int_0^xyg(y)dy = G(x)\times \mathbf E[Y_1|Y_1<x].

В итоге у нас получилось, что ожидаемая выплата агента не зависит от {\mathcal A}, а только от распределения на x. Поскольку ожидаемый доход продавца складывается из ожидаемых выплат агентов, получается, что этот доход тоже не зависит от {\mathcal A}.

Давайте рассмотрим на простом примере, как можно подсчитать ожидаемые выплаты агентов и ожидаемую прибыль продавца.

Пример 4.1. Пусть скрытые значения агентов x_i распределены равномерно на [0,1]. Тогда F(x)=x, G(x)=x^{N-1}, и из теоремы получается, что

m^{\mathcal A}(x) &=& \frac{N-1}Nx^{N}, \\
\mathbf E[m^{\mathcal A}(x)] &=& \frac{N-1}{N(N+1)}.

А ожидаемый доход продавца — это N\cdot\mathbf E[m^{\mathcal A}(x)]:

\mathbf E[R^{\mathcal A}] = \frac{N-1}{N+1}.

Конец примера 4.1.

Математики говорят: "Theorems come and go, a good formula stays for ever" ("Теоремы приходят и уходят, хорошая формула остается навсегда"). Во время доказательства теоремы мы получили формулу для ожидаемой выплаты агента. Эта формула,

m^{\mathcal A}(x) = m^{\mathcal A}(0) + \int_0^xyg(y)dy = G(x)\cdot \mathbf E[Y_1|Y_1<x],

в будущем пригодится нам, разумеется, гораздо чаще, чем сама формулировка теоремы. Заметим, что формула действует только если равновесие в аукционе есть — это нужно проверять отдельно, а уже потом, если получилось, что равновесие есть, использовать эту формулу.

Два нестандартных аукциона

В качестве примеров применения теоремы эквивалентности доходности (точнее, волшебной формулы из предыдущего параграфа) рассмотрим два аукциона, которые окажутся весьма интересными и с математической, и с экономической точки зрения.

Пример 4.2. Рассмотрим аукцион, в котором платят все (по-английски такая ситуация называется all-pay auction). Здесь все агенты делают ставки, потом все платят, сколько поставили, а вещь при этом дают тому, кто заплатил больше. В таком аукционе ожидаемая выплата строго равна ставке. Поэтому если равновесие есть, оно должно быть таким:

m^{\mathrm{allpay}}(x) = \int_0^xyg(y)dy = \beta^{\mathrm{allpay}}(x).

Проверим, что это действительно равновесие (хотя бы по Нэшу). Пусть все играют по \beta^{\mathrm{allpay}}, а один агент ставит z. Тогда он получит

G(z)x-\beta(z) = G(z)x - \int_0^zg(y)dy = G(z)(x-z) + \int_0^zG(y)dy.

Это мы уже видели в лекции "Принцип выявления предпочтений" , когда рассматривали аукцион первой цены. Здесь тоже применим совершенно тот же вывод, и, следовательно, здесь тоже будет достигнуто равновесие.

Конец примера 4.2.

Наверное, читатели удивляются: кто ж согласится участвовать в таком невыгодном аукционе? Однако пример есть, и недалеко от поверхности. Этот аукцион представляет собой модель лоббирования: каждая из группировок, которые хотят добиться нужного результата в парламенте, платят за лоббирование, но результат-то один! Чуть менее чистый пример — рекламные кампании: все тратят деньги, а лидирующее положение на рынке занимает одна компания (это, правда, не всегда так).

Второй пример — аукцион, при анализе которого нам потребуется немного вспомнить математическую статистику.

Пример 4.3. В аукционе третьей цены все похоже на аукционы первой и второй цены — агенты делают ставки, побеждает тот, кто поставил больше всех, но победитель платит только третью сверху ставку, а не вторую и не первую. Здесь будет много интересного из статистики, а в конце получится довольно забавный результат.

Итак, наша магическая формула подсказывает:

m^{\mathrm{III}}(x) = \int_0^xyg(y)dy.

Игрок выигрывает, когда Y_1<x, и платит третью сверху цену. С учетом того, что равновесная стратегия \beta^{\mathrm{III}} является неубывающей функцией, выплата выигравшего игрока будет равна \beta^{\mathrm{III}}(Y_2), где Y_2 — вторая сверху внутренняя ценность из оставшегося N-1 игрока.

Теперь на время забудем об аукционах и займемся статистикой. Найдем плотность второй порядковой статистики в выборке из n элементов.

Событие Y_2<y — это объединение двух непересекающихся событий:

  • все X_k меньше y ;
  • (n-1) величина из X_k меньше y, но один какой-то X_k больше y.

Следовательно, для функции распределения этой случайной величины мы получим следующее выражение:

F^{(n)}_2(y) = F(y)^n + nF(y)^{n-1}(1-F(y)) = nF(y)^{n-1} - (n-1)F(y)^n,

и, продифференцировав, получим плотность

f^{(n)}_2(y) = F^{(n)^\prime}_2(y)= n(n-1)(1-F(y))F(y)^{n-2}f(y).

Нас еще интересуют условные вероятности. Сначала — совместная вероятность; поскольку мы предполагаем, что все y_k независимы, ее плотность просто равна произведению плотностей:

f^{(n)}_Y(y_1,y_2,...,y_n) = n!f(y_1)f(y_2)... f(y_n).

Теперь построим формулу для f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_k):

f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_k) = \frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n)dy_{k+1}\ldots dy_n}  {(n-k)!}.

Пределы интегрирования в этом выражении описывают тот факт, что переменные с y_{k+1} до y_n должны оказаться меньше y_k. А в знаменателе стоит (n-k)!, потому что при подсчете интегралов мы посчитаем одни и те же события (n-k)! раз (это получается из-за того, что формула совместной вероятности не различает значения переменных y_i, по которым идет интегрирование, друг относительно друга).

Теперь подставим формулу для совместной вероятности (с n переменными) и проинтегрируем получившееся выражение. Интегрировать в данном случае — дело совсем нехитрое:

\frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n)dy_{k+1}\ldots dy_n}  {(n-k)!} \\= \frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} n!f(y_1)f(y_2)\ldots f(y_n) dy_{k+1}\ldots dy_n}  {(n-k)!} \\= \frac{n!F(y_k)^{n-k}f(y_1)f(y_2)\ldots f(y_k)}{(n-k)!}.

Например, при k=2 мы получим следующее выражение:

f_{1,2}^{(n)}(y_1,y_2) = n(n-1)f(y_1)f(y_2)F(y_2)^{n-2}.

Теперь можно вывести формулу и для условной вероятности:

f_2^{(n)}\left(z\mid Y_1^{(n)} = y\right) = \frac{f_{1,2}^{(n)}(y,z)}{f_{1}^{(n)}(y)} = \frac{n(n-1)f(y)f(z)F(z)^{n-2}}{nf(y)F(y)^{n-1}} = \\  = \frac{(n-1)f(z)F(z)^{n-2}}{F(y)^{n-1}} = \frac{f^{(n-1)}_1(z)}{F(y)^{n-1}}.

Найдем условную вероятность второй порядковой статистики при условии первой; для этого выпишем определение условной вероятности, а затем упростим полученное выражение:

f_2^{(n)}\left(y\mid Y_1^{(n)} < x\right) = \frac{\int^x_{y}f_{1,2}^{(n)}(z,y)dz}{F_{1}^{(n)}(x)} = \\ = \frac{1}{F_{1}^{(n)}(x)}\int^x_{y}n(n-1)f(z)f(y)F(y)^{n-2}dz = \\  = \frac{1}{F_{1}^{(n)}(x)}\left[n(n-1)F(z)f(y)F(y)^{n-2}\right]^y_x =  \frac{n(F(x)-F(y))f_1^{(n-1)}(y)}{F_1^{(n)}(x)}.

Получив таким образом условную вероятность второй порядковой статистики, можно уже подсчитать и ожидаемую выплату:

m^{\mathrm{III}}(x) = F_1^{(N-1)}(x)\mathbf E\left[\beta^{\mathrm{III}}(Y_2)\mid Y_1<x\right] = \\ = \int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)(N-1)(F(x)-F(y))f_1^{(N-2)}(y)dy.

Приравняем это выражение к тому, что дает нам полученная при доказательстве теоремы 4.1 формула:

\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)(N-1)(F(x)-F(y))f_1^{(N-2)}(y)dy = \int_0^xyg(y)dy.

Продифференцировав по x, получим:

(N-1)f(x)\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = xg(x),

то есть

(N-1)f(x)\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = (N-1)xf(x)F(x)^{N-2}.

Так как F^{N-2}_1(x) = F(x)^{N-2}, получается, что

\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = xF^{(N-2)}_1(x).

Теперь продифференцируем это равенство по x:

\beta^{\mathrm{III}}(x)f_1^{(N-2)}(x) = xf^{(N-2)}_1(x) + F^{(N-2)}_1(x),

а затем выразим отсюда \beta^{\mathrm{III}}:

\beta^{\mathrm{III}}(x) = x + \frac{F^{(N-2)}_1(x)}{f^{(N-2)}_1(x)} = x + \frac{F(x)}{(N-2)f(x)}.

Итак, мы получили итоговую формулу оптимальной стратегии:

\beta^{\mathrm{III}}(x) = x + \frac{F(x)}{(N-2)f(x)}.

К сожалению, это все верно, только когда \beta возрастает; а для этого, как видно из этой же формулы, надо, чтобы F/f возрастало. Иначе говоря (вспомним, что f — это производная F, то есть f/F — это производная \ln F ), \ln F должен быть вогнутой функцией (в такой ситуации говорят, что F log-вогнута, log-concave).

А обещанный интересный эффект вот в чем. У нас получилось, что \beta^{\mathrm{III}}(x) всегда строго больше x, а это значит, что агенту всегда оптимально ставить строго больше, чем свое истинное значение скрытой ценности. Несколько неожиданно, но в общем вполне логично: можно ожидать, что уж третий-то сверху окажется ниже истинной стоимости.

Конец примера 4.3.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига