Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 3:

Принцип выявления предпочтений

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Принцип выявления предпочтений

Мы уже почти готовы сформулировать и доказать главную теорему этой лекции. В ней пойдет речь об очень интересном факте — оказывается, если какую-то функцию социального выбора можно реализовать при помощи хоть какого-нибудь механизма, ее можно реализовать и при помощи прямого и правдивого механизма!

Важность этой теоремы трудно переоценить — после нее нам во многих случаях можно будет вообще не задумываться о том, что агенты могут лгать. Ведь теперь каждый раз, когда мы раньше предполагали бы, что какой-то механизм реализует функцию социального выбора, мы сможем предполагать, что прямой правдивый механизм тоже реализует эту функцию. И если вдруг окажется, что прямых правдивых реализаций у нее нет, то, значит, у нее и вообще никаких реализаций не имеется; это нам очень поможет, когда мы будем рассматривать теоремы о невозможности.

Исторически принцип выявления (по-английски звучит весьма пышно — revelation principle, но как "принцип откровения" мы решили все-таки не переводить) сначала появился в ограниченной постановке, для доминантных стратегий [22], но вскоре был обобщен на равновесия по Байесу-Нэшу [15,25,54]. Наиболее общая его формулировка, для байесовских игр, была доказана Майерсоном [56,57], и он же продолжил тему принципа выявления еще дальше, на игры, проходящие в несколько раундов (multistage games), когда действия агентов в следующем раунде могут зависеть от исхода предыдущих [58].

Но давайте перейдем к собственно теореме. Мы не будем касаться этих самых многоэтапных игр, а поначалу и вовсе ограничимся формулировкой в доминантных стратегиях. Сформулируем самое "мощное" определение реализации функции социального выбора, скомпоновав свойства правдивой реализуемости и реализумости в доминантных стратегиях.

Определение 3.8. Функция социального выбора f:\Theta_1\times\ldots\times\Theta_N\to\mathcal O правдиво реализуема в доминантных стратегиях2Терминов для этого понятия много, в зависимости от контекста по-английски есть несколько разных обозначений: truthfully implementable in dominant strategies, dominant strategy incentive compatible, strategy-proof, straightforward., если профиль стратегий

(s^*_1,\ldots,s^*_N),

где s^*_i(\theta_i)=\theta_i, находится в равновесии доминантных стратегий в игре, индуцированной прямым механизмом \mathcal M=(\theta_1,\ldots,\theta_N,f), то есть

\forall\theta_i,\theta^\prime_i\in\mathbf\theta_i,\ \mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i}\qquad u_i(f(\theta_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i)\ge u_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i).

Теперь можно и теорему сформулировать.

Теорема 3.3. (принцип выявления предпочтений в доминантных стратегиях). Пусть для данной социальной функции f существует механизм \mathcal M=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_N,g), который ее реализует в доминантных стратегиях. Тогда f правдиво реализуема в доминантных стратегиях.

Доказательство. Несмотря на огромную полезность этого факта, доказательство его будет достаточно простым. Суть происходящего можно объяснить предельно понятной конструкцией построения правдивого механизма по неправдивому.

Предположим, что у нас есть неправдивый механизм \mathcal M_1, в котором агенты находятся в равновесии, но при этом лгут — показывают не свои типы, а другие s^*_i(\theta_i). Рассмотрим тогда новый механизм \mathcal M_2 с немного измененным протоколом — после получения значений от агентов механизм будет их преобразовывать с помощью s^*_i(\theta_i), а потом уже подставлять эти значения в функцию получения исхода. Иначе говоря, мы как бы говорим агенту: "Давай мы будем врать за тебя; ты говори правду, а мы уже подставим что надо". Мы это изобразили на рис. 3.2; слева изображена исходная схема, в которой агент пользуется стратегией s и выдает аукционеру не свой тип \theta_i, а прошедший через стратегию s_i(\theta_i). А справа на том же рисунке стратегию уже "вытащили" из агента и внесли в состав механизма (механизмом справа можно считать все, что внутри штриховой линии). Естественно, в результате агенту будет выгодно говорить такому механизму правду.

Принцип выявления предпочтений

Рис. 3.2. Принцип выявления предпочтений

Давайте теперь формально проведем доказательство по этой схеме. \mathcal M=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_N,g) реализует f, значит, есть профиль стратегий

\mathbf s^*=(s^*_1,\ldots,s^*_n),

для которого

\begin{align*}
\forall \theta & g(s^*_i(\theta))=f(\theta)\text{ и } \\ \forall i,\theta_i,s^\prime_i,\mathbf s_{-i} & u_i(g(s_i^*(\theta_i),\mathbf s_{-i}),\theta_i)\ge u_i(g(s^\prime_i,\mathbf s_{-i}),\theta_i).
\end{align*}

В частности (подставим конкретное s^\prime и \mathbf s_{-i} ),

\forall i,\theta_i\quad u_i(g(s_i^*(\theta_i),\mathbf s_{-i}),\theta_i)\ge u_i(g(s^*_i(\theta_i),\mathbf s_{-i}^*(\mathbf\theta_{-i})),\theta_i).

Теперь, поскольку g(s^*_i(\theta))=f(\theta), получим, что

\forall i,\theta_i\quad u_i(f(\theta_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i)\ge u_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i).

А это и есть в точности определение правдивой реализуемости.

Точно так же можно доказать эту теорему с неправдивыми механизмами, в которых реализуемая функция находится в равновесии по Нэшу или Байесу-Нэшу. Сформулируем общий факт.

Теорема 3.4. (принцип выявления предпочтений) Для любого механизма (\Sigma_1,\ldots,\Sigma_N,g) и любого равновесия этого механизма \mathbf\beta существует прямой механизм \mathcal M=(\mathbf Q,\mathbf M), для которого:

  • стратегии говорить правду находятся в равновесии того же типа, что и \beta ;
  • результаты работы этого механизма в этом равновесии в точности совпадают с результатами \mathcal M.

Доказательство. Как и в теореме 3.3, нужно просто лгать за агента. Определим компоненты требуемого механизма \mathcal M как

\mathbf Q(\mathbf\theta) = \pi(\mathbf\beta(\mathbf x)),\quad \mathbf M(\mathbf x) = \mu(\mathbf\beta(\mathbf x)),

где \pi — индуцированная g функция распределения исходного механизма, а \muфункция выплат исходного механизма. Осталось только проверить, что у этого механизма действительно будет заявленное равновесие; это мы оставим читателю, потому что в теореме 3.3 уже всю структуру доказательства продемонстрировали.

Доказав важную и интересную теорему 3.4, займемся небольшой ее переформулировкой, которая пригодится нам позже. Вспомним, что правдивая реализуемость — это когда

\forall\theta_i,\theta^\prime_i\in\mathbf\theta_i,\
\mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i}\quad u_i(f(\theta_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i)\ge
u_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta_i).

А теперь рассмотрим агента i и любую пару возможных типов \theta_i^\prime и \theta^{\prime\prime}_i. Если правдивость — доминантная стратегия, то \forall\mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i} выполнено

u_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^\prime_i)\ge u_i(f(\theta^{\prime\prime}_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^\prime_i),

потому что при векторе типов (\theta^\prime,\mathbf\theta_{-i}) агенту i должно быть выгодно сказать \theta^\prime, а не \theta^{\prime\prime}. С другой стороны, для всякого вектора \mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i} выполнено

u_i(f(\theta^{\prime\prime}_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^{\prime\prime}_i)\ge
u_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^{\prime\prime}_i),

потому что при векторе типов (\theta^{\prime\prime},\mathbf\theta_{-i}) агенту i должно быть выгодно сказать \theta^{\prime\prime}, а не \theta^\prime.

Проще говоря, предпочтения агента i в той их части, где сравниваются f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}) и f(\theta^{\prime\prime}_i,\mathbf\theta_{-i}), должны измениться, когда его тип меняется с \theta^\prime на \theta^{\prime\prime} или обратно. Это называется свойством слабого обращения преференций (weak preference reversal property).

Кстати, верно и обратное: если свойство слабого обращения преференций выполняется для всех \mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i} и для всех пар \theta^\prime,\theta^{\prime\prime}\in\Theta_i, то говорить правду — доминантная стратегия для агента i. Это легко проверить, если зафиксировать \theta^\prime в определении свойства слабого обращения преференций. А теперь введем новое определение и переформулируем теорему 3.3.

Определение 3.9. Множество нижнего контура (lower contour set) возможного исхода o при агенте i типа \theta_i — это

L_i(o,\theta_i)=\{o^\prime\in\mathcal O:u_i(o,\theta_i)\ge u_i(o^\prime,\theta_i)\}.

Проще говоря, множество нижнего контура — это те исходы, которые для агента i не лучше фиксированного исхода o.

Теорема 3.5. (переформулировка принципа выявления доходности) Социальная функция f правдиво реализуема в доминантных стратегиях тогда и только тогда, когда для всех i, всех \mathbf\theta_{-i}\in\mathbf\Theta_{-i} и всех пар типов \theta^\prime,\theta^{\prime\prime}\in\Theta_i верно

f(\theta^{\prime\prime}_i, \mathbf\theta_{-i})&\in& L_i(f(\theta^\prime_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^\prime_i), \\
f(\theta^\prime_i, \mathbf\theta_{-i})&\in& L_i(f(\theta^{\prime\prime}_i,\mathbf\theta_{-i}),\theta^{\prime\prime}_i).

Доказательство. На самом деле мы просто переформулировали факт о том, что механизм реализуем в доминантных стратегиях. Оставляем доказательство этого читателю.

В заключение лекции скажем пару слов о том, что принцип выявления не обеспечивает. Главное упущение, которое может в некоторых случаях осложнять жизнь, заключается в том, что теорема 3.4 конструирует механизм, который имеет то же равновесие, что и исходный механизм, для правдивых стратегий. Но никто не гарантирует, что этот механизм не будет иметь других, неправдивых равновесий. Если они появляются, то вполне возможно, что агенты окажутся в этих неправдивых равновесиях, и анализ существенно осложнится. Но это все, конечно, относится только к равновесиям по Нэшу или Байесу-Нэшу, ведь равновесий в доминантных стратегиях много не бывает (точнее говоря, бывает, но все они эквивалентны).

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига