Опубликован: 14.11.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 5224 / 1884 | Длительность: 03:51:00
Лекция 3:

Решение транспортных задач

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234

Задача 3.2. Назначение бригад на работы

Требуется построить три объекта Oбj (j=1,2,3). К работе могут быть привлечены три бригады Брi (i=1,2,3). Каждая бригада из-за ограниченности своих ресурсов может одновременно строить только один объект. Каждый объект из-за технологических особенностей может строиться только одной бригадой. Известны сметные стоимости, которые установлены i\mbox{–ой} бригадой для j\mbox{-ого} объекта. Эти суммы (в тыс. руб.) приведены в матрице затрат Yij:

Об1 Об2 Об3
Бр1 76 86 96
Бр2 66 76 86
Бр3 56 66 76

Требуется разработать оптимальное по стоимости распределение бригад работников по объектам обслуживания.

Создадим ментальную карту по условиям задачи:

На связях бригад с объектами указаны нормативные коэффициенты — суммы, запрашиваемые бригадами за строительство объектов. Для удобства сравнения бригад между собой справа приведены суммарные стоимости работ каждой бригады для всех трех объектов. Из рисунка сразу видно, что Бригада 3 имеет наименьшие суммарные затраты. Но мы вынуждены учитывать ограничения по назначениям на работы: одна бригада может строить только один объект.

Математическая модель должна включать в себя три матрицы:

  • матрицу назначений Xij;
  • матрицу нормативных коэффициентов Yij;
  • матрицу затрат Zij.

Бинарные элементы матрицы назначений бригад на объекты Xij равны 1, если i\mbox{-ая} бригада обслуживает j\mbox{-ый} объект и равны нулю в противоположном случае. При этом каждая бригада может одновременно обслуживать только один объект, и каждый объект может обслуживаться только одной бригадой. Поэтому сумма чисел по строкам и столбцам матрицы равна 1.

Yij — матрица нормативных коэффициентов (тыс. руб.). Это матрица констант — они не меняются в процессе решения задачи.

Матрица затрат должна быть получена перемножением матрицы назначений на матрицу нормативных коэффициентов:

Zij=Xij*Yij,i = 1,2,3;j = 1,2,3.

На листе книги таблицы выглядят следующим образом:


В ячейки матриц X и Z вставлены формулы:


В качестве целевой функции выбираем общие затраты (ячейка Е20). Целью решения является минимизация этой функции.

По команде Данные — Поиск решения вызываем надстройку "Поиск решения". Диалоговое окно вместе с результирующими данными показано на рисунке.

Суммарные затраты 228 тыс. руб. являются оптимальными при таком распределении работ по объектам:

  • бригада 1 строит объект Об1;
  • бригада 2 строит объект Об2;
  • бригада 3 строит объект Об3.

Интересно, что в данной задаче имеется несколько оптимальных решений. Непосредственно из матрицы затрат видно, что суммарные затраты также равны 228 тыс. руб. и при некоторых других распределениях работ по объектам.

Часто оптимальное решение математической модели не может быть воплощено в практику по самым разным причинам. Поэтому необходимо при планировании проводить вариантный анализ задачи, просчитывая возможные осложнения. Предположим, в частности, что самая "дешевая" бригада 3 нашла себе срочную другую работу и пока не может быть назначена на наши объекты. Но бригада 2 и бригада 3 увеличили свои ресурсы и имеют возможность строить по два объекта. Какой же бригаде поручить строить два объекта?

В этом варианте решения изменятся лишь ограничения на сумму бинарных коэффициентов. Для бригады 1 и бригады 2 эта сумма может быть равной 1 или 2, а для бригады 3 эта сумма равна 0:


Решение будет выглядеть следующим образом:


Бригада 1 будет строить объект Об2, а бригада 2 будет строить два объекта: Об1 и Об3. Но наши расходы в этом варианте возрастут на 10 000 руб.

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234
Никита Козлов
Никита Козлов
Почему область решений была взята как многоугольник ОАВС. А как же точки (567;0) и (0;320). На мой взгляд, я бы выбрал многоугольник с точками О (567;0) (0;320). Ведь они являются областью пересечения двух ограничений