Опубликован: 14.11.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3895 / 917 | Длительность: 03:51:00
Лекция 3:

Решение транспортных задач

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234
Аннотация: Рационализация поставок сырья, товаров и продукции и составление оптимальных схем грузопотоков имеют большое практическое значение. В лекции показаны примеры оптимизации на линейных сетях и по другой тематике: составление расписаний и оптимизация назначений.

Целью лекции является ознакомление учащихся с методикой оптимизации математических моделей транспортных задач. На конкретных примерах разобраны типичные случаи использования программы "Поиск решения".

Задача 3.1

Определить план доставки грузов от поставщиков потребителям при условии минимальной стоимости всех перевозок. Данные приведены в таблице.

Тарифы на перевозку Ресурсы поставщиков
Потребители 1 2 3 4 5
Поставщик 1 20 30 50 40 10 310
Поставщик 2 30 20 40 10 50 260
Поставщик 3 40 30 20 60 20 280
Потребность потребителей 180 80 200 160 220 850/840

В выделенной области таблицы указаны тарифы (транспортные расходы) на перевозку от данного поставщика к каждому потребителю. Транспортные расходы здесь являются условным понятием. В различных задачах в роли их могут выступать также расстояние, время и т.п. В последнем столбце указаны ресурсы поставщиков. Если перевозки осуществляются однотипным транспортом, то это может быть просто число перевозок. Иначе это может быть объем груза, штуки или тонны. В нижней строке указаны потребности потребителей.

В транспортных задачах с закрытой моделью запасы поставщиков совпадают с потребностями потребителей. В данной постановке задачи отражена ситуация, когда предложение (850 перевозок) превышает спрос (840 перевозок). Часто в таких случаях ограничения для пунктов отправления записывают в виде неравенств, а ограничения для пунктов назначения — в виде равенств.

Нарисуем ментальную карту для данной задачи.


На рисунке введены следующие обозначения:

  • (Rz)i — ресурс поставщика (i = 1,2,3);
  • (Rs)k — ресурс склада потребителя (k = 1,2,\ldots,5);
  • Xik — число перевозок от i\mbox{-ого} поставщика к k\mbox{-ому} потребителю (целые числа);
  • Yik — стоимость одной перевозки от i\mbox{-ого} поставщика к k\mbox{-ому} потребителю;
  • \sum_k Xik — число перевозок от i\mbox{-ого} поставщика всем потребителям (суммируем по k);
  • \sum X_i ik — число перевозок для k\mbox{-ого} потребителя от всех поставщиков (суммируем по i).

Математическая модель транспортной задачи сводится к заданию двух матриц Xik — число перевозок и Yikстоимость перевозок и двух векторов (Rz)iресурс поставщика и (Rs)kресурс потребителя. Целевая функция определяет транспортные издержки потребителей, которые должны быть минимальными

F=Xik*Yik\Rightarrow min

Множество допустимых решений ограничивается ресурсами поставщиков и ресурсами потребителей:

\sum kXik <=(Rz)i — число перевозок от i\mbox{-ого} поставщика всем потребителям не может превышать производственных возможностей завода;

\sum Xiik <=(Rs)k - число перевозок для k\mbox{-ого} потребителя от всех поставщиков не может превышать возможностей потребителя складировать привезенные товары.

Для решения задачи средствами MS Excel нам нужно на листе книги представить дополнительно к матрице нормированных тарифов Yik матрицу числа перевозок Xik и сформировать целевую функцию в виде суммарных издержек потребителей. Подготовленные таблицы будут выглядеть следующим образом:


В качестве начальных значений элементов матрицы Xik выбрано число 1. Целевая функция помещена в ячейку G16. В ячейки второй таблицы вставлены следующие формулы:


В ячейки D15:F16 вставлены формулы, аналогичные формулам В15:С16.

Заполнив данными поля диалогового окна "Параметры поиска решения" и введя ограничения, получим оптимальное решение транспортной задачи:

Из таблицы видно, что у поставщика 3 остаются возможности еще для 10 перевозок. Чтобы наглядно представить себе распределение перевозок между поставщиками и потребителями, построим диаграмму плана перевозок:

Оптимальность решения математической модели достигается по совокупным издержкам всех потребителей. Однако при принятии по данным результатам управленческого решения стоит обратить внимание на непропорциональность издержек полученному товару для разных потребителей. В самом деле, потребитель 1 получил 180 единиц товара и заплатил 3800 руб., а потребитель 5 получил больше — 220 единиц товара, а заплатил меньше — 2900 руб. Потребитель 2 получил товара вдвое меньше, чем потребитель 4, а заплатили одинаково — по 1600 руб.

Если потребители относятся к разным фирмам, то они могут не согласиться на такую схему оплаты. Поэтому введем в параметры поиска решения дополнительные ограничения, отсортировав затраты в соответствии с количеством полученного товара. В результате поиска программа выдает такие результаты:


Заданные ограничения выполняются, но общие издержки возрастают на 990 руб.

К классу транспортных задач относятся также задачи о назначениях. Такие задачи возникают при определении маршрутов, при распределении людей на работы и должности, при распределении групп по аудиториям и пр.

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234
Никита Козлов
Никита Козлов
Почему область решений была взята как многоугольник ОАВС. А как же точки (567;0) и (0;320). На мой взгляд, я бы выбрал многоугольник с точками О (567;0) (0;320). Ведь они являются областью пересечения двух ограничений
Alexander Vizelka
Alexander Vizelka
Россия
Георгий Салиев
Георгий Салиев
Россия