Графический метод оптимизации линейных моделей

Задача 1.3. Нелинейная задача

При застройке нового микрорайона требуется определить месторасположение нового торгового центра. Для обеспечения удобства всех жителей микрорайона необходимо так расположить торговый центр, чтобы суммарное расстояние переходов от него до жилых массивов было бы минимальным, а расстояние от каждого жилого массива до торгового центра не превышало бы 5. Координаты жилых массивов приведены в таблице 1.

На рисунок 1.4 представлена наглядная схема расположения жилых массивов (1), (2), (3), (4). Между ними должен быть размещен торговый центр ТЦ с координатами , .

увеличить изображение
Рис. 1.4. — Схема расположения жилых массивов

На рисунке показано, как вычисляют расстояния между жилым массивом (3) и торговым центром: является гипотенузой треугольника с катетами и . Аналогичным образом определяются и другие расстояния.

Математическая модель приведена в таблице:

Таблица

Формула	Назначение	Примечание
	Расстояние между жилым массивом и торговым центром	, — координаты торгового центра, , — координаты жилых массивов
	Суммарное расстояние между жилыми массивами и торговым центром	— количество жилых массивов
	Суммарное расстояние между жилыми массивами и торговым центром должно быть минимальным	Целевая функция

Построим прямоугольную систему координат, где по оси отложим значения , а по оси отложим значения . Значения и неотрицательны, поэтому можно ограничиться рассмотрением первого квадранта. Из условий задачи и рисунка 1.4 следует, что находится в интервале 2 – 11, а не выходит из интервала 2 – 9.

Из формулы расстояния между жилым массивом и торговым центром выразим явным образом зависимость от :

Знак + перед корнем берется для , в остальных случаях выбираем знак (-).

По последней формуле построим графики зависимости координат торгового центра от координат жилых массивов (1), (2), (3), (4). Они показаны на рисунок 1.5.

увеличить изображение
Рис. 1.5. Нахождение решения нелинейной задачи

Каждая из кривых делит координатную плоскость на две части. Одна часть расположена выше прямой, вторая ниже. Чтобы найти ту полуплоскость, которая соответствует неравенствам, необходимо взять любую точку, принадлежащую одной из полуплоскостей (например, точку 7,4) и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то данная полуплоскость является искомой. Эти полуплоскости выделены штриховкой у каждой кривой.

Областью допустимых решений является замкнутый криволинейный треугольник . Координаты торгового центра, выбранные в этом треугольнике, удовлетворяют заданным неравенствам. Оптимальное решение следует искать в одной из вершин треугольника. Решая совместно уравнения кривых, получим следующие результаты:

	Уравнения
		6,53	6,76
		6,82	6,66
		6,73	6,39